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AVL树、红黑树的介绍和实现[C++]

news 来源：原创 2024/5/20 21:42:51

本文主要对AVL树和红黑树的结构和实现方法进行一定的介绍，仅实现部分接口。

目录

一、AVL树

1.AVL树的概念

2.AVL树节点的定义

3.AVL树的插入

4.AVL树的旋转

1. 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋

2. 新节点插入较高右子树的右侧——右右：左单旋

3. 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋

4. 新节点插入较高右子树的左侧——右左：先右单旋再左单旋

5.AVL树的验证

6.AVL树的性能

二、红黑树

1.红黑树的概念

2.红黑树的性质

3.红黑树节点的定义

4.红黑树的插入操作

1.情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

2.情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

3.情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

4.代码如下：

5.红黑树的验证

6.红黑树与AVL树的比较

前言

map/multimap/set/multiset介绍和使用

二叉搜索树介绍和实现

上一篇文章对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中 插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此 map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

一、AVL树

1.AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  1. 它的左右子树都是AVL树
  2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

（平衡因子只是一种AVL的实现方式，本文通过这种方法来实现）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $log_2 n$，搜索时间复杂度$O(log_2 n)$。

2.AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _left;   // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _right;  // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _parent; // 该节点的双亲pair<K, V> _kv;int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

3.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为以下步骤：

  1. 按照二叉搜索树的方式找到其对应的位置插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子，平衡因子的更新取决于子树高度的变化，左子树新增则--平衡因子，右子树新增++平衡因子
  3. 如果更新完以后，平衡没有出现问题,即 |_bf|<=1,平衡结构没有受到影响，不需要处理
  4. 如果更新完以后，平衡没有出现问题,即 |_bf|>1,平衡结构受到影响，需要旋转处理

其中，新节点插入后，父节点的平衡因子一定需要调整，在插入之前，父节点的平衡因子分为三种情况： - 1，0, 1, 分以下两种情况：

  1. 如果新节点插入到父节点的左侧，只需给父节点的平衡因子 - 1即可
  2. 如果新节点插入到父节点的右侧，只需给父节点的平衡因子 + 1即可

此时：父节点的平衡因子可能有三种情况：0，正负1，正负2。

  1. 如果父节点的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
  2. 如果父节点的平衡因子为正负1，说明插入前父节点的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以父节点为根的树的高度增加，需要继续向上更新
  3. 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理 
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{//寻找插入位置if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_parent = parent;if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}//调整平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if(parent->_bf == 0){break;}//进行旋转调整else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}break;}else{assert(false);}}
}

4.AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到20的左子树(注意：此处不是左孩子)中，20左子树增加了一层，导致以40为根的二叉树不平衡，要让40平衡，只能将40左子树的高度减少一层，右子树增加一层，  即将左子树往上提，这样40转下来，因为40比20大，只能将其放在20的右子树，而如果20有右子树，右子树根的值一定大于20，小于40，只能将其放在40的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。

代码如下：

void RotateR(Node* parent)//parent为平衡因子为-2的节点
{Node* subL = parent->_left;//parent的左孩子Node* subLR = subL->_right;//parent左孩子的右孩子，即需要更新为parent的新左孩子的节点parent->_left = subLR;// 如果20的左孩子的右孩子存在，更新父节点if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subL;// 如果40是根节点，根新指向根节点的指针if (ppnode == nullptr){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{// 如果40是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树subL->_parent = ppnode;if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}}//根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧——右右：左单旋

该情况为右右单旋的镜像，实现及情况考虑参考右单旋即可。

代码如下：

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if(subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (ppnode == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{subR->_parent = ppnode;if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

3. 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对20进行左单旋，然后再对60进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

代码如下：

// 旋转之前，40的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，
//根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，
// 需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子int bf = subLR->_bf;
// 先对20进行左单旋RotateL(parent->_left);// 再对60进行右单旋RotateR(parent);if (bf == -1){parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else//如果运行到此处说明平衡因子有错误assert(false);
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧——右左：先右单旋再左单旋

参考左右双旋。

代码如下：

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == -1){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0	;subR->_bf = 1;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}elseassert(false);
}

总结：

假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为subR

  • 当subR的平衡因子为1时，执行左单旋
  • 当subR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为subL

  • 当subL的平衡因子为-1是，执行右单旋
  • 当subL的平衡因子为1时，执行左右双旋

5.AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

  1. 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
  2. 节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(Node* root)//求树的高度
{if (root == nullptr)//为空返回0return 0;//递归求左子树和右子树的高度int left = _Height(root->_left);int right = _Height(root->_right);//返回较高子树的高度+1（根节点）return left > right ? left + 1 : right + 1;
}bool _IsBalance(Node* root)判断是否平衡
{if (root == nullptr)return true;int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);//右子树高度-左子树高度！=平衡因子则说明有误if ((rightH - leftH) != root->_bf){	cout <<root->_kv.first<< "平衡因子错误" << endl;return false;}//平衡因子小于2，去递归左右子树return (abs(leftH - rightH) < 2)&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);}bool IsBalance()
{return _IsBalance(_root);
}

因为AVL树也是二叉搜索树，其他接口与二叉搜索树类似，其中删除接口可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不过与删除不同的是，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

本文主要介绍结构，其他接口实现不做介绍了。

6.AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这 样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$log_2 (N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

二、红黑树

1.红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。

 

2.红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色

2. 根节点是黑色的

3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的

4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点

5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

其中，根据性质3，4可以得到一条路径最短的情况为该路径都是黑节点，最长路径的情况为该路径上的节点为一黑一红交替，因此红黑树的最长路径最多为最短路径的2倍。

3.红黑树节点的定义

enum Color// 节点的颜色
{RED,BLACK
};
// 红黑树节点的定义
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;// 节点的左孩子RBTreeNode<K, V>* _right;// 节点的右孩子RBTreeNode<K, V>* _parent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转)pair<K, V> _kv;    // 节点的值域Color _col;        // 节点的颜色RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};

将新插入节点的默认颜色设置为红色。

如果新插入节点默认颜色为黑色的话，该节点插入后会违反性质4，那么需要对全部路径进行调整。新插入节点默认颜色为红色的话，如果该节点插入后父节点为黑色，则不需要调整，父节点为红色再继续调整。

根据上述情况，新插入节点默认颜色为红色更优。

4.红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质3不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

1.情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

（注意：下图中的树，可能是一颗完整二叉树，也可能是一颗子树）

2.情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

解决方式：

  • p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；
  • 相反， p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
  • p、g变色--p变黑，g变红

说明：u的情况有两种。

1. 如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4：每条路径黑色节点的数量相同。

2.如果u节点存在且黑色，那么cur节点原来的颜色一定是黑色，现在看到cur是红色的原因是因为cur的子树在调整过程中将cur节点的颜色由黑色变为红色。

3.情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

解决方式：

  • p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；
  • 相反， p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转，则转换成了情况2

其余情况都为上述情况的镜像，在此不做介绍了。

4.代码如下：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{//寻找插入位置if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_parent = parent;if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}//调整while (parent && parent->_col == RED){// 注意：grandfather一定存在// 因为parent存在，且不是黑色节点，则parent一定不是根，则其一定有双亲Node* grandfather = parent->_parent;// 先讨论左侧情况if ( grandfather->_left == parent){Node* uncle = grandfather->_right;if (uncle && uncle->_col == RED)// 情况1：u存在且为红，变色处理，并继续往上处理{parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else// 情况2+3：u不存在/u存在且为黑，旋转+变色{if (cur == parent->_left){RotateR(grandfather);//旋转部分代码见下文parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else// 讨论右侧情况{Node* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == RED)// 情况1：u存在且为红，变色处理，并继续往上处理{parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else// 情况2+3：u不存在/u存在且为黑，旋转+变色{if (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{RotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}//根节点变为黑色_root->_col = BLACK;return true;
}

旋转部分：

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (ppnode == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{subR->_parent = ppnode;if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}}
}void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (ppnode == nullptr){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{subL->_parent = ppnode;if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}}
}

红黑树的其他接口不做介绍了。

红黑树的删除

5.红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

  1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
  2. 检测其是否满足红黑树的性质
bool _check(Node* root, int blackNum, int benchmark)
{if (root == nullptr){if (blackNum != benchmark){cout << "路径上黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}		}if (root->_col == BLACK)//记录路径中黑色节点的个数{++blackNum;}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << "出现连续红色节点" << endl;return false;}//通过上方检测后递归判断左右子树return _check(root->_left, blackNum, benchmark)&& _check(root->_right, blackNum, benchmark);
}bool IsBalance()
{if (_root->_col == RED){cout << "根节点为红色" << endl;return false;}int benchmark = 0;Node* cur = _root;// 获取任意一条路径中黑色节点的个数，作为基准值while (cur){if(cur->_col == BLACK)++benchmark;cur = cur->_left;}return _check(_root, 0, benchmark);
}

6.红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(\log_{2}N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数， 所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

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