【考研数学】概率论与数理统计 —— 第八章 | 假设检验
文章目录
- 一、基本概念与原理
- 1. 假设检验
- 2. 两类错误
- 3. 小概率原理与显著性水平
- 二、假设检验的基本步骤
- 三、一个正态总体均值和方差的假设检验
- 四、两个正态总体的假设检验
- 写在最后
一、基本概念与原理
1. 假设检验
设总体分布已知，但含有未知参数，对总体的未知参数做出某种假设，在抽取样本及样本观察值的基础上，构造合适的统计量，对假设作出接受与否的判断。
2. 两类错误
（1）第一类错误（弃真）— 若原始假设 H 0 H_0 H0 是正确的，但检验结果拒绝 H 0 H_0 H0 ，称这类错误为第一类错误或弃真。
（2）第二类错误（存伪）— 若原始假设 H 0 H_0 H0 是错误的，但检验结果接受 H 0 H_0 H0 ，称这类错误为第二类错误或存伪。
3. 小概率原理与显著性水平
对假设进行检验的基本思想是采用某种带有概率性质的反证法，这种概率的依据是小概率原理 —— 概率很接近 0 的事件在一次试验或观察中，认为备择假设不会发生。若小概率事件发生了，则拒绝原假设。
小概率事件中的“小概率”的值没有统一规定，通常是根据实际问题的要求，规定一个界限 α ( 0 < α < 1 ) \alpha(0<\alpha<1) α(0<α<1) ，当一个事件的概率不大于 α \alpha α 时，即认为它是小概率事件。在假设检验问题中， α \alpha α 称为显著性水平，通常取 α = 0.1 , 0.05 , 0.01 \alpha=0.1,0.05,0.01 α=0.1,0.05,0.01 等。
二、假设检验的基本步骤
- 给出未知参数的原始假设 H 0 H_0 H0 ，及备择假设 H 1 H_1 H1 ；
- 选择合适的统计量，当原始假设 H 0 H_0 H0 为真时，确定统计量服从的分布；
- 在显著性水平下，确定原始假设 H 0 H_0 H0 的拒绝域；
- 将样本观察值代入统计量，若统计量的取值不在拒绝域内，则接受 H 0 H_0 H0 ；否则，拒绝 H 0 H_0 H0 。
三、一个正态总体均值和方差的假设检验
设总体 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)， ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为来自总体 X X X 的简单随机样本，样本观察值为 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) (x_1,x_2,\cdots,x_n) (x1,x2,⋯,xn) 。
以检验均值 μ \mu μ 为例：
（1）若参数 σ 2 \sigma^2 σ2 已知
考虑双侧假设检验，则
- 令 H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ ≠ μ 0 H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\ne\mu_0 H0:μ=μ0,H1:μ=μ0 ；
- 选用统计量 U = ( X ‾ − μ 0 ) / ( σ / n ) ∼ N ( 0 , 1 ) U=(\overline{X}-\mu_0)/(\sigma/\sqrt{n}) \sim N(0,1) U=(X−μ0)/(σ/n)∼N(0,1) ；
- 上 α / 2 \alpha/2 α/2 分位点为 z α / 2 z_{\alpha/2} zα/2 ，则拒绝域为 ( − ∞ , − z α / 2 ] ⋃ [ z α / 2 , + ∞ ) (-\infty,-z_{\alpha/2}]\bigcup[z_{\alpha/2},+\infty) (−∞,−zα/2]⋃[zα/2,+∞) ；
- 代入 x ‾ \overline{x} x 进统计量 U U U 中，若结果不落在拒绝域中，则接受 H 0 H_0 H0 ，否则拒绝 H 0 H_0 H0 。
考虑右侧假设检验，则
- 令 H 0 : μ ≤ μ 0 , H 1 : μ > μ 0 H_0:\mu\leq\mu_0,H_1:\mu>\mu_0 H0:μ≤μ0,H1:μ>μ0 ；
- 选用统计量 U = ( X ‾ − μ 0 ) / ( σ / n ) ∼ N ( 0 , 1 ) U=(\overline{X}-\mu_0)/(\sigma/\sqrt{n}) \sim N(0,1) U=(X−μ0)/(σ/n)∼N(0,1) ；
- 上 α \alpha α 分位点为 z α z_{\alpha} zα ，则拒绝域为 [ z α , + ∞ ) [z_{\alpha},+\infty) [zα,+∞) ；
- 代入 x ‾ \overline{x} x 进统计量 U U U 中，若结果不落在拒绝域中，则接受 H 0 H_0 H0 ，否则拒绝 H 0 H_0 H0 。
考虑左侧假设检验，则
- 令 H 0 : μ ≥ μ 0 , H 1 : μ < μ 0 H_0:\mu\geq\mu_0,H_1:\mu<\mu_0 H0:μ≥μ0,H1:μ<μ0 ；
- 选用统计量 U = ( X ‾ − μ 0 ) / ( σ / n ) ∼ N ( 0 , 1 ) U=(\overline{X}-\mu_0)/(\sigma/\sqrt{n}) \sim N(0,1) U=(X−μ0)/(σ/n)∼N(0,1) ；
- 下 α \alpha α 分位点为 − z α -z_{\alpha} −zα ，则拒绝域为 ( − ∞ , − z α ] (-\infty,-z_{\alpha}] (−∞,−zα] ；
- 代入 x ‾ \overline{x} x 进统计量 U U U 中，若结果不落在拒绝域中，则接受 H 0 H_0 H0 ，否则拒绝 H 0 H_0 H0 。
其余情形和置信区间的讨论类似，不再赘述，附上结果。
四、两个正态总体的假设检验
写在最后
这些内容考前看看就好了，实在是难记。
那到此，全部数学一的理论内容终于终于基本结束了（可能前面还有一些物理、几何应用还没看，后面做到题目补上就是）。只剩下 50 多天的时间了，真的得抓紧。