【数据结构】树与二叉树（四）：满二叉树、完全二叉树及其性质

5.1 树的基本概念

5.1.1 树的定义

• 一棵树是结点的有限集合T：
  • 若T非空，则：
    • 有一个特别标出的结点，称作该树的根，记为root(T)；
    • 其余结点分成若干个不相交的非空集合T1, T2, …, Tm (m>0)，其中T1, T2, …, Tm又都是树，称作root(T)的子树。
  • T 空时为空树，记作root(T)=NULL。

5.1.2 森林的定义

  一个森林是0棵或多棵不相交（非空）树的集合，通常是一个有序的集合。换句话说，森林由多个树组成，这些树之间没有交集，且可以按照一定的次序排列。在森林中，每棵树都是独立的，具有根节点和子树，树与树之间没有直接的连接关系。
  森林是树的扩展概念，它是由多个树组成的集合。在计算机科学中，森林也被广泛应用于数据结构和算法设计中，特别是在图论和网络分析等领域。

5.1.3 树的术语

• 父亲（parent）、儿子（child）、兄弟（sibling）、后裔（descendant）、祖先（ancestor）
• 度（degree）、叶子节点（leaf node）、分支节点（internal node）
• 结点的层数
• 路径、路径长度、结点的深度、树的深度

参照前文：【数据结构】树与二叉树（一）：树（森林）的基本概念：父亲、儿子、兄弟、后裔、祖先、度、叶子结点、分支结点、结点的层数、路径、路径长度、结点的深度、树的深度

5.1.4 树的表示

• 【数据结构】树与二叉树（二）：树的表示C语言：树形表示法、嵌套集合表示法、嵌套括号表示法 、凹入表示法

5.2 二叉树

5.2.1 二叉树

1. 定义

  二叉树是一种常见的树状数据结构，它由结点的有限集合组成。一个二叉树要么是空集，被称为空二叉树，要么由一个根结点和两棵不相交的子树组成，分别称为左子树和右子树。每个结点最多有两个子结点，分别称为左子结点和右子结点。

2. 特点

  二叉树的特点是每个结点最多有两个子结点，并且子结点的位置是有序的，即左子结点在前，右子结点在后。这种有序性使得二叉树在搜索、排序等算法中有广泛的应用。

• 在二叉树中，根结点是整个树的起始点，通过根结点可以访问到整个树的其他结点。每个结点都可以看作是一个独立的二叉树，它的左子树和右子树也是二叉树。

• 二叉树可以是空树，也可以是只有根结点的树，或者是由多个结点组成的树。每个结点可以包含一个数据元素，以及指向左子结点和右子结点的指针。

• 二叉树的形状可以各不相同，它可以是平衡的或者不平衡的，具体取决于结点的分布情况。在二叉树中，每个结点的左子树和右子树都是二叉树，因此可以通过递归的方式来处理二叉树的操作。

3. 性质

引理5.1：二叉树中层数为i的结点至多有$2^i$个，其中$i\ge 0$。

引理5.2：高度为k的二叉树中至多有$2^{k+1}-1$个结点，其中$k\ge 0$。

引理5.3：设T是由n个结点构成的二叉树，其中叶结点个数为$n_0$，度数为2的结点个数为$n_2$，则有$n_0=n_2+1$。

详细证明过程见前文：【数据结构】树与二叉树（三）：二叉树的定义、特点、性质及相关证明

4. 满二叉树

定义

  定义5.3：一棵非空高度为$k(k\ge 0)$的满二叉树(perfect binary tree)，是有$2^{k+1}-1$个结点的二叉树。

特点

  满二叉树是一种特殊类型的二叉树，具有以下特点：

1. 叶结点都在第$k$层上：满二叉树的高度为$k$，即最深层的层数为$k$。所有的叶结点都位于最深层，也就是第$k$层。

2. 每个分支结点都有两个子结点：满二叉树中的每个非叶结点都有两个子结点。也就是说，每个结点要么是叶结点，要么有两个子结点。

3. 叶结点的个数等于非叶结点个数加1：满二叉树中的叶结点个数（记为$n_0$）与非叶结点个数（记为$n_1$）之间满足关系$n_0=n_1+1$。也就是说，叶结点的个数比非叶结点的个数多1。

  根据定义5.3，一棵非空高度为$k$的满二叉树具有$2^{k+1}-1$个结点。这个结论可以通过归纳法证明。当$k=0$时，满二叉树只有一个结点，符合条件。假设对于某个正整数$k$，高度为$k$的满二叉树有$2^k-1$个结点。那么对于高度为$k+1$的满二叉树，根结点有两个子结点，每个子结点都是高度为$k$的满二叉树。根据归纳假设，每个子树都有$2^k-1$个结点，所以总共有$2\cdot (2^k-1)+1=2^{k+1}-1$个结点。因此，高度为$k+1$的满二叉树有$2^{k+1}-1$个结点。（引理5.2）
  可按层次顺序（即按从第0层到第k层，每层由左向右的次序）将一棵满二叉树的所有结点用自然数从1开始编号。例如：

        1/ \2   3/ \ / \4  5 6  7/\ /\ /\ /\8 9 A B C D E

  根据上述满二叉树的编号规律，节点的编号如下：

第0层：1
第1层：2, 3
第2层：4, 5, 6, 7
第3层：8, 9, A, B, C, D, E

  这里使用了十六进制数字A到E来表示编号大于9的节点。这样，高度为3的满二叉树的所有节点共有$2^4-1=15$个节点，按照层次顺序从1到15进行编号。

5. 完全二叉树

定义

  定义5.4：一棵包含$n$个节点、高度为$k$的二叉树$T$，当按层次顺序编号$T$的所有节点，对应于一棵高度为$k$的满二叉树中编号由1至$n$的那些节点时，$T$被称为完全二叉树（complete binary tree）。

  换句话说，完全二叉树是按照层次顺序从左到右依次填满节点的二叉树，除了最后一层可能不满外，其他层都必须是满的。在完全二叉树中，节点编号与高度为$k$的满二叉树中的节点编号一一对应。

下面是一个例子来说明完全二叉树的概念：

        1/ \2   3/ \  /4  5 6

  在上面的例子中，这棵二叉树有6个节点，高度为2。按照层次顺序编号，节点的编号与高度为2的满二叉树中的节点编号一一对应。完全二叉树在树的存储和遍历等操作中具有一些特殊的性质，因此在算法和数据结构中经常被使用。

特点

• 树中只有最下面两层节点的度可以小于2
  • 这意味着在完全二叉树中，除了最后一层和倒数第二层的节点可以是度小于2的节点（即叶节点或只有一个子节点），其他层的节点都必须是度为2的节点（具有两个子节点）。
• 树中最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置上（满二叉树意义上）
  • 在完全二叉树中，最后一层的节点从左到右依次排列，不会有空缺。
• 树中叶节点只能在层数最大的两层上出现，即存在一个非负整数$k$使得树中每个叶节点或在第$k$层或第$k+1$层上
  • 这意味着在完全二叉树中，叶节点只能出现在最底层和倒数第二层上。其他层不会有叶节点。
• 对树中所有节点，按层次顺序，用自然数从1开始编号，仅编号最大的非叶节点可以没有右儿子，其余非叶节点都有两个儿子节点
  • 在完全二叉树中，除了编号最大的非叶节点可能只有一个子节点（左子节点），其他非叶节点都必须有两个子节点（左子节点和右子节点）。
• 树中所有节点对应于高度为$k$的满二叉树中编号由1至$n$的那些节点：
  • 这是完全二叉树的定义,完全二叉树的节点编号与高度为$k$的满二叉树中的节点编号一一对应。

  这些特点描述了完全二叉树的一些重要性质和规律。完全二叉树在算法和数据结构中经常被使用，因为它的结构相对简单，可以方便地进行存储和遍历等操作。

引理5.4

  将一棵有$n$个节点的完全二叉树按层次顺序用自然数从1开始编号时，节点编号$i$的结点满足的性质：

① 若$i\ne 1$，则编号为$i$的结点的父节点的编号为$\lfloor i/2\rfloor$。即除了根节点（编号为1）之外，其他节点的父节点的编号可以通过将节点编号除以2并向下取整得到。

② 若$2i\le n$，则编号为$i$的结点的左子节点的编号为$2i$。这意味着如果节点编号的两倍小于等于总节点数$n$，则该节点有左子节点，且左子节点的编号为节点编号的两倍。

③ 若$2i+1\le n$，则编号为$i$的结点的右子节点的编号为$2i+1$。这意味着如果节点编号的两倍加一小于等于总节点数$n$，则该节点有右子节点，且右子节点的编号为节点编号的两倍加一。

  这些性质描述了完全二叉树中节点编号与父节点、左子节点和右子节点编号之间的关系。通过这些性质，可以方便地在完全二叉树中定位和访问特定节点的父节点、左子节点和右子节点。

  证明完全二叉树性质②的正确性可以通过归纳法进行：

• 首先，当$i=1$时，如果$n\ge 2$，则左儿子的编号显然为2。这是基本情况。

• 假设对于所有$1\le j\le i$，且$2i\le n$，节点$j$的左儿子的编号为$2j$。现在要证明节点$j=i+1$的左儿子的编号为$2(i+1)$。

• 根据完全二叉树的性质，如果$2(i+1)\le n$，则节点$i+1$有左儿子。根据层次顺序的编号规则，节点$i+1$的左儿子之前的两个节点就是节点$i$的左儿子和右儿子。根据归纳假设，节点$i$的左儿子编号为$2i$，因此节点$i$的右儿子编号为$2i+1$。因此，节点$i+1$的左儿子的编号为$2i+2=2(i+1)$。

• 通过归纳法，我们证明了对于所有$1\le i\le n$，若$2i\le n$，则节点$i$的左儿子的编号为$2i$。

  由于性质②可以直接推导出性质③，而性质②和③又可以得到性质①，所以这个证明也同时证明了性质③和①。

引理5.5 具有n个结点的完全二叉树的高度是⌊𝑙𝑜𝑔2𝑛⌋ .

证明：
  设完全二叉树的高度为$k$。根据定义5.4，完全二叉树的结点个数介于高度为$k$和$k-1$的满二叉树的结点数之间，即有$2^k-1<n\le 2^{k+1}-1$。

从而，我们可以得到$2^k\le n\le 2^{k+1}-1$，即$k\le {\log }_{2}n<k+1$。

由于高度$k$为整数，所以我们可以得到$k=\lfloor {\log }_{2}n\rfloor$。

因此，具有$n$个结点的完全二叉树的高度是$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor$。

思考：完全二叉树和满二叉树是什么关系？