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数据结构——时间复杂度和空间复杂度

news 来源：原创 2024/5/9 19:00:44

一. 算法效率

1.1 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间 ( 内存 ) 资源。因此 衡量一个算法的好坏，一般 是从时间和空间两个维度来衡量的 ，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间 。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二. 时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中， 算法的时间复杂度是一个函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{for (int j = 0; j < N ; ++ j){++count;}
}for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{++count;
}
printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数：F(N)=N^2+2*N+10

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要 大概执行次数，那么这 里我们使用大 O 的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大 O 阶方法：

1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。

2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。

使用大 O 的渐进表示法以后， Func1 的时间复杂度为

O(N^2)

通过上面我们会发现大 O 的渐进表示法 去掉了那些对结果影响不大的项 ，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况

2.3 常见时间复杂度计算举例

实例 1 ：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

解析： 基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

实例 2:

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++ k){++count;}for (int k = 0; k < N ; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}

解析： 基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

实例 3:

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}

解析： 基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

实例 4:

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

解析： 基本操作执行最好N次，最坏执行了1+2+.......+(n-1)次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2).

实例5 :

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n-1;// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号while (begin <= end){int mid = begin + ((end-begin)>>1);//也可写成int mid = begin + (end-begin)/2;if (a[mid] < x)begin = mid+1;else if (a[mid] > x)end = mid-1;elsereturn mid;}return -1;
}

解析：这是二分查找， 基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN).

ps： logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。

实例6 :

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;return Fac(N-1)*N;
}

解析：基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

实例7 :

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{if(N < 3)return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

解析：基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。

三. 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大 O 渐进表示法 。

注意： 函数运行时所需要的栈空间 ( 存储参数、局部变量、一些寄存器信息等 ) 在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

实例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{ assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

解析：冒泡排序使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

实例 2 ：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{if(n==0)return NULL;long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n ; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];}return fibArray;
}

解析： 动态开辟了N+1个空间，空间复杂度为 O(N)

实例 3 ：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;return Fac(N-1)*N;
}

解析：递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

四. 复杂度的oj练习

4.1 轮转数组

解法一：每次旋转一个数字，将最后一个数字放在临时变量中，将数组其他元素向后移动一位，再将临时变量的值放在数组下标为0的位置，旋转k次

时间复杂度：O(N*K),K的最坏情况是N-1,所以时间复杂度为O(N^2)

空间复杂度：O(1)

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {k=k%numsSize;for(int i=0;i<k;i++){int tmp=nums[numsSize-1];for(int j=numsSize-1;j>0;j--){nums[j]=nums[j-1];}nums[0]=tmp;}
}

解法二：将前n-k个数字反转，后k个数字反转，在整个反转

时间复杂度：分别一共遍历了俩次数组，O(N)

空间复杂度：O(1)

void reverse(int nums[],int left,int right)
{while(left<right){int tmp=nums[left];nums[left]=nums[right];nums[right]=tmp;left++;right--;}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {k=k%numsSize;reverse(nums,0,numsSize-k-1);reverse(nums,numsSize-k,numsSize-1);reverse(nums,0,numsSize-1);}

解法三：开辟一个数组，将原数组后k个数据放在新数组的前k个位置，将原数组前n-k个数据放在新数组后n-k个位置，然后将新数组拷贝回去

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(N)


void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {k=k%numsSize;int arr[numsSize];for(int i=0;i<k;i++)
{arr[i]=nums[numsSize-k+i];
}
for(int i=0;i<numsSize-k;i++)
{arr[k+i]=nums[i];
}
for(int i=0;i<numsSize;i++)
{nums[i]=arr[i];
}}

4.2 消失的数字

解法一：0^a=a,a^a=0

异或数组所有元素,再与0到n个数字异或，则结果就为缺失的数字

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(1)


int missingNumber(int* nums, int numsSize){int tmp=0;for(int i=0;i<numsSize;i++){tmp=tmp^nums[i];}for(int i=0;i<=numsSize;i++){tmp=tmp^i;}return tmp;
}

解法二：将0~n个数字累计加起来，然后一一减去数组里面数字，最后的结果就是缺失的数字

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(1)


int missingNumber(int* nums, int numsSize){int tmp=numsSize*(numsSize+1)/2;for(int i=0;i<numsSize;i++){tmp=tmp-nums[i];}return tmp;
}

4.3 移除元素

思路：

因为要求在原地修改数组，所以空间复杂度为O(1)，不能够额外增加空间，那么我们定义俩个下标，dst和scr,将下标scr的值给给下标为dst的值，当nums[scr]！=val，scr++,dst++;scr遇到nums[scr]==val的元素，则scr跳过， dst保持不动,最终dst的值为移除后数组的新长度。

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(1)

int removeElement(int* nums, int numsSize, int val) {int scr=0;int dst=0;while(scr<numsSize){if(nums[scr]!=val){nums[dst]=nums[scr];scr++;dst++;}else{scr++;}}return dst;
}

4.4 删除有序数组的重复项

思路：双指针

要注意题目中已给条件，非严格递增数列，这是解题的关键，遇到重复项，则让重复的后一项的后面的元素向前覆盖掉后重复项

1）当数组长度为1，返回1

2）当数组元素大于2，

如果nums[fast] ≠ nums[slow]，那么nums[slow + 1] = nums[fast]；

如果nums[fast] == nums[slow]，那么指针fast继续向后查找。

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(1)

int removeDuplicates(int* nums, int numsSize) {if(numsSize==1){return 1;}int fast=1;int slow=0;while(fast<numsSize){if(nums[fast]!=nums[slow]){nums[slow+1]=nums[fast];slow++;fast++;}else{fast++;}}return slow+1;}

4.5 合并俩个有序数组

思路一：重新创造一个数组，用双指针法，分别指向俩个数组，将小的放入新数组，最后拷贝回nums1数组

时间复杂度：O(n+m)

空间复杂度：O(n+m)

void merge(int* nums1, int nums1Size, int m, int* nums2, int nums2Size, int n) {int arr[n+m];int i=0;int j=0;int k=0;while(i<m&&j<n){if(nums1[i]>nums2[j]){arr[k]=nums2[j];j++;k++;}else{arr[k]=nums1[i];i++;k++;}}if(i==m){while(j<n){arr[k]=nums2[j];k++;j++;}}if(j==n){while(i<m){arr[k]=nums1[i];k++;i++;}}for(i=0;i<m+n;i++){nums1[i]=arr[i];}}

思路二：我们将nums1和nums2和并成一个数组，然后利用快排

int cmp(int* a, int* b) {return *a - *b;
}void merge(int* nums1, int nums1Size, int m, int* nums2, int nums2Size, int n) {for (int i = 0; i <n; ++i) {nums1[m + i] = nums2[i];}qsort(nums1, nums1Size, sizeof(int), cmp);
}