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数理统计的基本概念（二）

news 来源：原创 2024/5/20 1:28:33

文章目录

抽样分布
- 几个重要分布
- 分位数
参考文献

抽样分布

所谓抽样分布是指统计量的概率分布。确定统计量的分布是数理统计学的基本问题之一。

几个重要分布

$\Gamma$ 分布

若随机变量 $X$ 具有概率密度 $f(x;\alpha,\lambda)=\begin{cases} \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}, &x>0 \\ 0, &x\le0 \end{cases}$ 则称 $X$ 服从参数为 $\alpha、\lambda$ 的 $\Gamma$ 分布，记为 $X\sim \Gamma(\alpha, \lambda)$ ，其中 $\alpha >0,\lambda >0$ 为参数。

$\Gamma$ 分布具有下列性质：

若 $X\sim \Gamma(\alpha, \lambda)$ ，则 $E(X)=\alpha/\lambda, D(x)=\alpha/\lambda^2.$
可加性。若 $X_i\sim \Gamma(\alpha_i, \lambda),i=1,...,n$ ，且 $X_1,...,X_n$ 相互独立，则 $X_1+...+X_n\sim\Gamma(\alpha_1+...+\alpha_n,\lambda)$
在 $\Gamma$ 分布中取 $\alpha=1$ ，即得指数分布 $\text{Exp}(\lambda)$ $f(x;\lambda)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, &x>0 \\ 0, &x\le0 \end{cases}$ 由此可得性质 2 的一个推论：若 $X_1,...,X_n$ 为 $\text{i.i.d.}$ ，且 $X_1\sim \text{Exp}(\lambda)$ ，则 $\sum_{i=1}^nX_i \sim \Gamma(n,\lambda)$

$\beta$ 分布

若随机变量 $X$ 具有概率密度 $f(x;a,b)=\begin{cases} \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}, &0<x<1 \\ 0, &其他 \end{cases}$ 则称 $X$ 服从参数为 $a 、 b$ 的 $\beta$ 分布，记为 $X\sim \beta(a,b)$ ，其中 $a > 0, b > 0$ 为参数， $B (a, b)$ 为 $\beta$ 函数。

$\beta$ 分布具有下列性质：

若 $X\sim \beta(a,b)$ ，则 $E(X)=\frac{a}{a+b},D(X)=\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$
若 $X\sim \Gamma(a,1),Y\sim \Gamma(b,1)$ ，且 $X, Y$ 相互独立，则 $Z=\frac{X}{X+Y}\sim \beta(a,b)$

$\chi^2$ 分布

若随机变量 $X$ 具有概率密度 $\chi^2(x;n)=\begin{cases} \frac{x^{n/2-1}e^{-x/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}, &x>0 \\ 0, &x\le0 \end{cases}$ 则称 $X$ 服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记为 $X\sim \chi^2(n)$ 。

$\chi^2$ 分布具有下列性质：

若 $X\sim \chi^2(n)$ ，则 $E (X) = n, D (X) = 2 n$
可加性。若 $X_i \sim \chi^2(n_i),i=1,...,k$ ，且 $X_1,...,X_k$ 相互独立，则 $X_1+...+X_n\sim \chi^2(n_1+...+n_k)$

设随机变量 $X_1,...,X_n$ 相互独立，且都服从标准正态分布 $N (0, 1)$ ，则随机变量 $\chi^2=\sum_{i=1}^n X_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布。

$t$ 分布

$t$ 分布又称学生分布，随机变量 $T$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布记为 $T\sim t(n)$ 。

$t$ 分布的概率密度关于 $x = 0$ 对称，并且当 $|x|\to +\infty$ 时单调下降地趋于 0，且当自由度 $n\to +\infty$ 时，自由度为 $n$ 的 $t$ 分布收敛于标准正态分布 $N (0, 1)$ 。

若 $X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$

$F$ 分布

随机变量 $F$ 服从自由度为 $n_1,n_2)$ 的 $F$ 分布记为 $F\sim F(n_1,n_2)$ 。

若 $X\sim \chi^2(n_1),Y\sim \chi^2(n_2)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $F=\frac{X/n_1}{Y/n_2} \sim F(n_1,n_2)$

在上述定理的条件下，若 $F\sim F(n_1,n_2)$ ，则 $\frac{1}{F} \sim F(n_2,n_1)$ 。

分位数

设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=P(X\le x)$ ，对于 $0 < p < 1$ ，若有 $x_p$ 满足 $P(X\le x_p)=F(x_p)=p$ 则称 $x_p$ 为分布 $F (x)$ （或随机变量 $X$ ）的下侧 $p$ 分位数；对于 $0<\alpha <1$ ，若有 $y_\alpha$ 满足 $P(X>y_\alpha)=1-F(y_\alpha)=\alpha$ 则称 $y_\alpha$ 为分布 $F (x)$ （或随机变量 $X$ ）的上侧 $\alpha$ 分位数。