【概率统计】生存分析
什么是生存分析
激励例子:新药的临床试验
想象一下，有一种新药被开发出来，可以延长某种恶性癌症患者的生命。为了评估药物的有效性，需要进行临床试验，对患者进行一段时间的跟踪，看看他们开始治疗后能活多久。
以下是如何使用生存分析来设置和分析试验:
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招募:招募100名癌症患者，并在招募当天开始治疗。
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随访:对每个患者进行一段时间的跟踪，以查看他们是否以及何时去世。由于疾病和试验的性质，并不是每个患者的终点(死亡)将在研究期间观察，因为:
-一些患者可能在研究结束时还活着。
-有些人可能因为各种原因离开研究或失去随访。 -
数据收集:5年后，研究结束，收集数据。假设5位患者的数据如下所示(为例进行了简化):
| 患者ID | 时间(年) | 事件 |
|---|---|---|
| 1 | 2.5 | 1 |
| 2 | 5 | 0 |
| 3 | 1 | 1 |
| 4 | 3 | 1 |
| 5 | 4 | 0 |
-时间:从研究开始到死亡或结束的时间。
-事件:二元指标，1表示事件(死亡)发生，0表示审查(研究结束时患者没有发生该事件)。
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Kaplan-Meier估计器:我们使用它来估计生存函数( S(t) )，它告诉我们患者在过去一段时间内生存的概率( t )。
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分析:我们可以看看中位生存时间，50%的患者已经去世，并将其与未用药患者的历史数据进行比较，以评估药物的有效性。
生存分析的必要性
以下是在这种情况下需要生存分析的原因:
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审查:并非所有患者的事件都被观察到。一些人失去了随访，另一些人在研究结束时仍然活着。生存分析方法可以处理这种类型的不完整数据。
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事件发生时间:感兴趣的结果不仅是事件是否发生，而且是何时发生。传统的分析，如逻辑回归，没有考虑时间方面。
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比较组:如果有一个对照组，我们可能想要比较两组的生存经验。生存分析提供了log-rank检验等工具，可以在统计学上比较生存曲线。
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协变量调整:患者的特征，如年龄、癌症阶段和其他治疗都会影响生存率。生存分析方法，如Cox比例风险模型，可以针对这些协变量进行调整。
这种分析的结果可以影响临床决策，指导病人护理，并为进一步的研究提供信息。在ML和AI的背景下，我们可以将更复杂的模型应用于这些数据，以潜在地揭示复杂的关系，并对患者结果做出更准确的预测。
生存分析中最经典、使用最广泛的统计学方法是Cox比例风险模型，由David Cox在1972年开发。它是一个半参数模型，用于处理患者的生存率和几个解释变量之间的关系。
Cox比例风险模型的主要特征:
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半参数化:模型对基线风险函数的形状没有假设，即所有协变量都等于零时的风险。这允许建模时间到事件数据的灵活性。
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比例风险:它假设解释变量对风险的影响是乘性的，并且随着时间的推移保持不变。随着时间的推移，任何两个个体的风险比率是恒定的，因此称为“比例风险”。
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多协变量:模型可以同时处理多种风险因素和协变量，包括连续的和分类的。
Cox模型公式:
对于一个个体 i i i和协变量 x i x_i xi，在时间 t t t时的风险函数 h ( t ) h(t) h(t)为:
h i ( t ) = h 0 ( t ) exp ( β 1 x i 1 + β 2 x i 2 + … + β p x i p ) h_i(t) = h_0(t) \exp(\beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \ldots + \beta_p x_{ip}) hi(t)=h0(t)exp(β1xi1+β2xi2+…+βpxip)
其中:
- h i ( t ) h_i(t) hi(t) :个人 i i i 在 t t t时间的危害。
- h 0 ( t ) h_0(t) h0(t) :时间$ t $时的基线危险度，即所有协变量均为零的个体的危险度。
- β 1 , β 2 , … , β p \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_p β1,β2,…,βp :协变量的系数，衡量协变量对风险的影响。
- x i 1 , x i 2 , … , x i p x_{i1}, x_{i2}, \ldots, x_{ip} xi1,xi2,…,xip:单个 i i i的协变量值。
解释:
-系数 β j \beta_j βj大于零，表示随着协变量 x j x_j xj的增加，事件危害增加，意味着事件发生的预期时间缩短。
-系数 β j \beta_j βj小于零意味着随着协变量 x j x_j xj的增加，事件风险降低，意味着事件发生的预期时间更长。
模型拟合:
Cox模型通常使用一种称为部分似然最大化的技术来拟合，这是一种有效处理截尾数据的方法。系数$ \beta 是在不指定基线危害 是在不指定基线危害 是在不指定基线危害h_0(t)$的情况下从数据中估计的，这使得模型是半参数的。
例子:
如果你想研究新疗对患者生存时间的影响，需要收集生存时间的数据，包括患者是否接受新疗(治疗组与对照组)，以及可能影响生存的其他协变量，如年龄、阶段和吸烟状况。Cox模型允许您在控制这些其他因素的同时评估新疗的影响。
为什么它是经典:
Cox模型能够处理不同类型的协变量，处理筛选，并且不需要基线危害的规格说明，这使它成为生存分析工具包中通用而强大的工具。它在广泛的学科中使用，特别是在医学研究中用于临床试验分析和流行病学研究。