XX^{T} 和 X^{T}X 的关系
记 A = X T X ， B = X X T A = X^TX， B = XX^T A=XTX，B=XXT。假设 X ∈ R m × n X \in \R^{m \times n} X∈Rm×n，则 A ∈ R n × n A \in \R^{n \times n} A∈Rn×n， B ∈ R m × m B \in \R^{m \times m} B∈Rm×m。易得 d i m ( A ) = d i m ( B ) = d i m ( X ) dim(A) = dim(B) = dim(X) dim(A)=dim(B)=dim(X)
显然，A 和 B 都是对称半正定矩阵，且 A 有 n 个特征向量， B 有 m 个特征向量。
特征向量之间的关系：
若 u 是 B 的特征向量，即
B
u
=
λ
u
Bu = \lambda u
Bu=λu，则
X
T
u
X^T u
XTu 是 A 的特征向量。
证明： A ( X T u ) = X T X X T u = X T B u = X T ( λ u ) = λ ( X T u ) A(X^T u) = X^TXX^Tu = X^TBu = X^T(\lambda u) = \lambda(X^T u) A(XTu)=XTXXTu=XTBu=XT(λu)=λ(XTu)
同理， 若 v 是 A 的特征向量，即 A v = λ v Av = \lambda v Av=λv，则 X v X v Xv 是 B 的特征向量。