不等式的证明之一
不等式的证明之一
- 证明下述不等式
- 证明
证明下述不等式
设 a , b , c a,b,c a,b,c 是正实数，请证明下述不等式：
1 < a a 2 + b 2 + b b 2 + c 2 + c c 2 + a 2 ≤ 3 2 1<\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + a^2}} \le \frac{3}{\sqrt2} 1<a2+b2a+b2+c2b+c2+a2c≤23 上述不等式及其证明思路参考文献 [1]，本文将给出更多的证明细节，并且对右边的不等式选取柯西·施瓦兹不等式的证明方法。
证明
先证左边的简单不等式。
a a 2 + b 2 + b b 2 + c 2 + c c 2 + a 2 > a a 2 + b 2 + c 2 + b a 2 + b 2 + c 2 + c a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c a 2 + b 2 + c 2 > 1 \begin{align} &\frac a{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac b{\sqrt{b^2+c^2}} + \frac c{\sqrt{c^2+a^2}} \\ &> \frac a{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \frac b{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \frac c{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ &= \frac {a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ &> 1 \end{align} a2+b2a+b2+c2b+c2+a2c>a2+b2+c2a+a2+b2+c2b+a2+b2+c2c=a2+b2+c2a+b+c>1 下面证明右边的不等式。先给出一个基本不等式，其结论成立是不言而喻的：
∑ cyc c 2 ( a 2 − b 2 ) 2 ≥ 0 \begin{align} \sum_{\text{cyc}}c^2(a^2-b^2)^2\geq0 \end{align} cyc∑c2(a2−b2)2≥0 其中 ∑ cyc \sum_{\text{cyc}} ∑cyc 表示循环求和，比如 ∑ cyc a 2 = a 2 + b 2 + c 2 \sum_{\text{cyc}} a^2=a^2+b^2+c^2 ∑cyca2=a2+b2+c2. 对（5）式进行改写得：
a 4 c 2 + b 4 c 2 + b 2 c 4 + a 4 b 2 + a 2 b 4 + a 2 c 4 ≥ 6 a 2 b 2 c 2 \begin{align} a^4c^2+b^4c^2+ b^2c^4+a^4b^2+a^2b^4+a^2c^4\geq 6a^2b^2c^2 \end{align} a4c2+b4c2+b2c4+a4b2+a2b4+a2c4≥6a2b2c2 上式也可以简记为
∑ cyc c 2 ( a 4 + b 4 ) ≥ 6 a 2 b 2 c 2 \begin{align} \sum_{\text{cyc}} c^2(a^4+b^4)\geq 6a^2b^2c^2 \end{align} cyc∑c2(a4+b4)≥6a2b2c2 有了（7）式，我们可以推出下面的不等式（8）：
8 ∑ cyc a 2 ∑ cyc a 2 b 2 ≤ 9 ∏ cyc ( a 2 + b 2 ) \begin{align} 8\sum_{\text{cyc}}a^2\sum_{\text{cyc}}a^2b^2 \leq 9\prod_{\text{cyc}}(a^2+b^2) \end{align} 8cyc∑a2cyc∑a2b2≤9cyc∏(a2+b2) 过程如下，因为：
∏ cyc ( a 2 + b 2 ) = 2 a 2 b 2 c 2 + ∑ cyc c 2 ( a 4 + b 4 ) \begin{align} \prod_{\text{cyc}} (a^2+b^2)=2a^2b^2c^2 +\sum_{\text{cyc}} c^2(a^4+b^4) \end{align} cyc∏(a2+b2)=2a2b2c2+cyc∑c2(a4+b4) 所以结合（7）式：
9 ∏ cyc ( a 2 + b 2 ) = 18 a 2 b 2 c 2 + 9 ∑ cyc c 2 ( a 4 + b 4 ) = 18 a 2 b 2 c 2 + ∑ cyc c 2 ( a 4 + b 4 ) + 8 ∑ cyc c 2 ( a 4 + b 4 ) ≥ 24 a 2 b 2 c 2 + 8 ∑ cyc c 2 ( a 4 + b 4 ) = 8 ∑ cyc a 2 ∑ cyc a 2 b 2 \begin{align} &9\prod_{\text{cyc}} (a^2+b^2) \\ &= 18a^2b^2c^2+9\sum_{\text{cyc}} c^2(a^4+b^4) \\ &=18a^2b^2c^2+\sum_{\text{cyc}} c^2(a^4+b^4) + 8\sum_{\text{cyc}} c^2(a^4+b^4) \\ &\geq 24a^2b^2c^2+8\sum_{\text{cyc}} c^2(a^4+b^4) \\ &=8\sum_{\text{cyc}}a^2\sum_{\text{cyc}}a^2b^2 \end{align} 9cyc∏(a2+b2)=18a2b2c2+9cyc∑c2(a4+b4)=18a2b2c2+cyc∑c2(a4+b4)+8cyc∑c2(a4+b4)≥24a2b2c2+8cyc∑c2(a4+b4)=8cyc∑a2cyc∑a2b2 借助不等式（8），现在我们来证明原不等式的右边，由柯西·施瓦兹不等式我们有：
( ∑ cyc a a 2 + b 2 ) 2 = ( ∑ cyc a a 2 + b 2 a 2 + c 2 a 2 + c 2 ) 2 ≤ ∑ cyc a 2 ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + c 2 ) ∑ cyc ( a 2 + c 2 ) \begin{align} &\left(\sum_{\text{cyc}}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 \\ &=\left(\sum_{\text{cyc}}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}} \sqrt{a^2+c^2}\right)^2 \\ &\leq\sum_{\text{cyc}}\frac{a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\sum_{\text{cyc}}(a^2+c^2) \end{align} (cyc∑a2+b2a)2=(cyc∑a2+b2a2+c2aa2+c2)2≤cyc∑(a2+b2)(a2+c2)a2cyc∑(a2+c2) 接下来估计（17）式 ∑ cyc a 2 ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + c 2 ) ∑ cyc ( a 2 + c 2 ) \sum_{\text{cyc}}\frac{a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\sum_{\text{cyc}}(a^2+c^2) ∑cyc(a2+b2)(a2+c2)a2∑cyc(a2+c2) 的上界。我们作下述变形，并结合（8）式得：
∑ cyc a 2 ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + c 2 ) ∑ cyc ( a 2 + c 2 ) = 2 ∑ cyc a 2 ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + c 2 ) ∑ cyc a 2 = 2 ∑ cyc a 2 ( b 2 + c 2 ) ( a 2 + b 2 ) ( b 2 + c 2 ) ( c 2 + a 2 ) ∑ cyc a 2 = 2 ∑ cyc a 2 ( b 2 + c 2 ) ∑ cyc a 2 ∏ cyc ( a 2 + b 2 ) = 4 ∑ cyc a 2 b 2 ∑ cyc a 2 ∏ cyc ( a 2 + b 2 ) ≤ 9 2 ∏ cyc ( a 2 + b 2 ) ∏ cyc ( a 2 + b 2 ) = 9 2 \begin{align} &\sum_{\text{cyc}}\frac{a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\sum_{\text{cyc}}(a^2+c^2) \\ &=2\sum_{\text{cyc}}\frac{a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\sum_{\text{cyc}}a^2 \\ &=2\sum_{\text{cyc}}\frac{a^2(b^2+c^2)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\sum_{\text{cyc}}a^2 \\ &=\frac{2\sum_{\text{cyc}}a^2(b^2+c^2)\sum_{\text{cyc}}a^2}{\prod_{\text{cyc}} (a^2+b^2)} \\ &=\frac{4\sum_{\text{cyc}}a^2b^2\sum_{\text{cyc}}a^2}{\prod_{\text{cyc}} (a^2+b^2)} \\ &\leq \frac{9}{2} \frac{\prod_{\text{cyc}} (a^2+b^2)}{\prod_{\text{cyc}} (a^2+b^2)}=\frac{9}{2} \end{align} cyc∑(a2+b2)(a2+c2)a2cyc∑(a2+c2)=2cyc∑(a2+b2)(a2+c2)a2cyc∑a2=2cyc∑(a2+b2)(b2+c2)(c2+a2)a2(b2+c2)cyc∑a2=∏cyc(a2+b2)2∑cyca2(b2+c2)∑cyca2=∏cyc(a2+b2)4∑cyca2b2∑cyca2≤29∏cyc(a2+b2)∏cyc(a2+b2)=29 证毕 □ \quad\Box □
显然 a = b = c a=b=c a=b=c 时，原不等式的右边等号成立。
参考文献
[1] Symmetric inequality with three variables including radicals