取送货问题（Pickup and Delivery Problem）

取送货问题及其变体

广义取送货问题（General Pickup and Delivery Problems，GPDP）可以分为两类：

• Vehicle Routing Problems with
  Backhauls，VRPB：从配送中心（depot）取货运输货物到客户点，再从客户点取货运输至配送中心交付（backhoul）。

  transportation of goods from the depot to linehaul customers and from backhaul customers to the depot

• Vehicle Routing Problems with Pickups and Deliveries
  ，VRPPD：货物在取货点和送货点之间流转。按照取货点和交货点是否是成对的，可以进一步分为两类：

  • unpaired：对于货物，从某一取货点取货，可以交付至任意送货点。如果只有一辆车，那么问题简化为Pickup and Delivery Traveling Salesman Problem，PDTSP。如果是多辆车，Pickup and Delivery Vehicle Routing Problem，PDVRP。
  • paired：对于某一订单，从某一指定取货点取货，只能交付至指定的送货点。如果研究的对象是货物，则有Single Pickup and Deleivery Problem，SPDP（一辆车）和PDP两个问题。如果研究的对象是乘客，则有e Dial-A-Ride Problem，DARP问题，对于一辆车的情况为the single vehicle case of the DARP as SDARP.

本文研究的取送货问题为PDP，如图：

接下来，本文所说的取送货问题，均为同车型，多辆车的Pickup and Delivery Problem，Homogeneous Multi vehicle pickup and delivery problem用PDP表示。

Parragh S N, Doerner K F, Hartl R F. A survey on pickup and delivery problems: Part II: Transportation between pickup and delivery locations[J/OL]. Journal für Betriebswirtschaft, 2008, 58(2): 81-117. https://doi.org/10.1007/s11301-008-0036-4.

取送货问题数学模型（Homogeneous Multi vehicle pickup and delivery problem formulations）

参数

• $n$：取货点数量。
• $\tilde{n}$：送货点数量，因为这里是Paired PDP问题，故$n=\tilde{n}$。
• $P$：取货点集合， P = { 1 , . . . , n } P = \{1,..., n\} P={1,...,n}
• $D$：送货点集合， D = { n + 1 , . . . , n + n ~ } D = \{n +1,..., n +\tilde{n}\} D={n+1,...,n+n~}
• $K$：车辆集合

决策变量

• $x_{ijk}$：车辆路径决策变量，$x_{ijk}=1$，车辆$k$经过弧$(i,j)$；
• $Q_i^k$：车辆$k$离开节点$i$时的装载量；
• $B_i^k$：车辆$k$服务$i$点的开始时刻；

混合整数规划模型
min ⁡ ∑ k ∈ K ∑ ( i , j ) ∈ A c i j k x i j k subject to. ∑ k ∈ K ∑ j : ( i , j ) ∈ A x i j k = 1 ∀ i ∈ P ∪ D , ∑ j : ( 0 , j ) ∈ A x 0 j k = 1 ∀ k ∈ K , ∑ i : ( i , n + n ~ + 1 ) ∈ A x i , n + n ~ + 1 k = 1 ∀ k ∈ K , ∑ i : ( i , j ) ∈ A x i j k − ∑ i : ( j , i ) ∈ A x j i k = 0 ∀ j ∈ P ∪ D , k ∈ K , x i j k = 1 ⇒ B j k ≥ B i k + d i + t i j k ∀ ( i , j ) ∈ A , k ∈ K , x i j k = 1 ⇒ Q j k = Q i k + q j ∀ ( i , j ) ∈ A , k ∈ K , max ⁡ { 0 , q i } ≤ Q i k ≤ min ⁡ { C k , C k + q i } ∀ i ∈ V , k ∈ K , e i ≤ B i k ≤ l i ∀ i ∈ V , k ∈ K , B n + n ~ + 1 k − B 0 k ≤ T k ∀ k ∈ K , x i j k ∈ { 0 , 1 } ∀ ( i , j ) ∈ A , k ∈ K . \begin{align} \min \quad & \sum_{k\in K}\sum_{(i,j) \in A} c_{ij}^k x_{ij}^k \\ \text{subject to.} \quad &\sum_{k \in K} \sum_{j:(i, j) \in A} x_{i j}^{k} =1 & \forall i \in P \cup D, \\ &\sum_{j:(0, j) \in A} x_{0 j}^{k}=1 & \forall k \in K, \\ &\sum_{i:(i, n+\tilde{n}+1) \in A} x_{i, n+\tilde{n}+1}^{k} =1 & \forall k \in K, \\ &\sum_{i:(i, j) \in A} x_{i j}^{k}-\sum_{i:(j, i) \in A} x_{j i}^{k} =0 &\forall j \in P \cup D, k \in K, \\ &x_{i j}^{k}=1 \Rightarrow B_{j}^{k} \geq B_{i}^{k}+d_{i}+t_{i j}^{k} & \forall(i, j) \in A, k \in K, \\ &x_{i j}^{k}=1 \Rightarrow Q_{j}^{k} =Q_{i}^{k}+q_{j} & \forall(i, j) \in A, k \in K, \\ &\max \left\{0, q_{i}\right\} \leq Q_{i}^{k} \leq \min \left\{C^{k}, C^{k}+q_{i}\right\} & \forall i \in V, k \in K, \\ & e_i \leq B_i^k \leq l_i & \forall i \in V, k \in K,\\ & B_{n+\tilde{n}+1}^k -B_{0}^k \leq T^k &\forall k \in K,\\ &x_{i j}^{k} \in\{0,1\} & \forall(i, j) \in A, k \in K . \end{align} minsubject to.​k∈K∑​(i,j)∈A∑​cijk​xijk​k∈K∑​j:(i,j)∈A∑​xijk​=1j:(0,j)∈A∑​x0jk​=1i:(i,n+n~+1)∈A∑​xi,n+n~+1k​=1i:(i,j)∈A∑​xijk​−i:(j,i)∈A∑​xjik​=0xijk​=1⇒Bjk​≥Bik​+di​+tijk​xijk​=1⇒Qjk​=Qik​+qj​max{0,qi​}≤Qik​≤min{Ck,Ck+qi​}ei​≤Bik​≤li​Bn+n~+1k​−B0k​≤Tkxijk​∈{0,1}​∀i∈P∪D,∀k∈K,∀k∈K,∀j∈P∪D,k∈K,∀(i,j)∈A,k∈K,∀(i,j)∈A,k∈K,∀i∈V,k∈K,∀i∈V,k∈K,∀k∈K,∀(i,j)∈A,k∈K.​​

• 目标函数（1）最小化总体行驶成本；
• 约束（2）保证了每个客户点都被访问了一次；
• 约束（3-5）分别保证了每辆车必须从始发站出发，到达并离开每个客户点，并最终回到终点站；
• 约束（6）消除子回路，
• 约束（7-8）车辆容量约束

【注】约束（6）和（7）是非线性的，可以用大M进行线性化

参考：
Parragh S N, Doerner K F, Hartl R F. A survey on pickup and delivery problems: Part II: Transportation between pickup and delivery locations[J/OL]. Journal für Betriebswirtschaft, 2008, 58(2): 81-117. https://doi.org/10.1007/s11301-008-0036-4.