【408直通车】（考研数一、二、三合集）线性代数公式全覆盖

线性代数

行列式:

• $|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|$

• $|kA|=k^n|A|$

• $|A^T|=|A|$

• $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

• (若 $A$ 可逆)$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$ (当 $n\ge 2$)

• $\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|$=$\left|\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right|$=$\left|\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right|$= |A||B|

• $\left|\begin{array}{cc}O& A_{m\times m}\\ B_{n\times n}& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}C& A_{m\times m}\\ B_{n\times n}& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}O& A_{m\times m}\\ B_{n\times n}& C\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A||B|$

• 范德蒙行列式 $D_n={\prod }_{1<j<i<n}(x_i-x_j)$

• 设 ${\lambda }_i$ ($i=1,2,\dots ,n$) 是矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值，则 $|A|={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$

• 证明 $|A|=0$ 的方法：

  • $|A|=-|A|$；反证法；利用秩，证明 $r(A)<n$
  • 构造齐次方程组 $Ax=0$，证明其有非零解
  • 证明 $0$ 是其特征值

方阵性质：

• $A^T{A}^{-1}{A}^{\ast }$ 之间的关系：

  • A^T
    • $(AB{)}^T=B^T{A}^T$
    • $(A\pm B{)}^T=A^T\pm B^T$
  • A^{-1}
    • $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
    • $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$
  • A^*
    • $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$
    • $(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$ (当 $n\ge 2$)
    • $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$ (当 $n\ge 3$)

• $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$; $(A^{-1}{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{-1}$；$(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$; $(A^n{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^n$

• $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

• 若 $A$ 可逆，$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$ (当 $n\ge 2$)

• 若 $A$ 可逆，则 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$；$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

• 矩阵秩的性质:

  • $r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$

矩阵可逆性质：

• $A$ 可逆 $\iff |A|\ne 0$ (非奇异矩阵)
• $\iff r(A)=n$ (满秩矩阵)
• $\iff A$ 的行（列）向量组线性无关
• $\iff$ 齐次方程组 $Ax=0$ 有唯一零解
• $\iff$ 对于任意 $b\in {\mathbb{R}}^n$，$Ax=b$ 总有唯一解
• $\iff A$ 与单位矩阵 $E$ 等价
• $\iff A$ 可表示为若干个初等矩阵的乘积
• $\iff A$ 的特征值全不为0
• $\iff A^{T}A$ 是正定矩阵
• $\iff A$ 的行（列）向量组是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基
• $\iff A$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中某两组基的过渡矩阵

矩阵秩性质：

• $0\le r(A_{m\times n})\le \min (m,n)$
• $r(A^T)=r(A)$
• 若 $A\sim B\to r(A)=r(B)$
• $\max (r(A),r(B))\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$
• $r(A+B)\le r(A)+r(B)$
• $r(AB)\le \min (r(A),r(B))$
• 若 $AB=0$:
  1. $B$ 的列向量全部是齐次方程组 $AX=0$ 的解（转置运算后的结论）
  2. $r(A)+r(B)\le n$
• 对于 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵，则 $r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$

分块矩阵性质：

• ${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$
• ${\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$
• ${\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$
• ${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ -B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\right)$

施密特正交化：

• ${\beta }_1={\alpha }_1$
• ${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$
• ${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2$

向量组性质：

x维向量常常特指x维列向量

1. 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,\beta$ 线性相关$\iff$$\beta$ 可以由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 唯一线性表示

2. $\beta$ 可以由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性表示 $\iff$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,\beta )$

3. 部分相关→整体相关；整体无关→部分无关。

   • $n$ 个 $n$ 维向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关 $\iff$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n|\ne 0$
   • $n$ 个 $n$ 维向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性相关 $\iff$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n|=0$
   • $n+1$ 个 $n$ 维向量线性相关

4. 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关，则添加分量后仍线性无关；一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关.

5. 对于矩阵 $A_{n\times m}$(n个（方程/m维行向量）,m个（未知数/n维列向量）)$

   • 若$n>m$$(方程个数>未知数个数)$

     • 若 $r(A)=r=n$ $\iff$ $A$ 的行向量组线性无关
     • 若 $r(A)=r<n$ $\iff$ $A$ 的行向量组线性相关
     • 若 $r(A)=r=m$ $\iff$ $A$ 的列向量组线性无关 $\iff$ 齐次方程组 $Ax=0$ 只有零解
     • 若 $r(A)=r<m$ $\iff$ $A$ 的列向量组线性相关 $\iff$ 齐次方程组 $Ax=0$ 有非零解

   • 若$n<m$$(方程个数<未知数个数)$

     • 如$n+1$ 个 $n$ 维(列)向量线性相关$\iff$ 齐次方程组 $Ax=0$ 有非零解

   • 若$n=m$$(方程个数=未知数个数)$

     • n个（未知数/n维列向量）线性无关$\iff$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n|\ne 0$$\iff$ 齐次方程组 $Ax=0$ 只有零解
     • n个（未知数/n维列向量）线性相关$\iff$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n|=0$$\iff$ 齐次方程组 $Ax=0$ 有非零解

6. $A$ 能由 $B$ 线性表示 $\iff$$AX=B$ 有解 $\iff$ $r(A)=r(A,B)$ $\Rightarrow$ $r(A)\le r(B)$
   $AB$ 等价 $\iff$ $r(A)=r(B)=r(A,B)$

基础解系与等价

1. 若 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_t$ 是 $Ax=0$ 的基础解系，则：

   • ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_t$ 是 $Ax=0$ 的解。
   • ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_t$ 线性无关。
   • $Ax=0$ 的任一解都可以由 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_t$ 线性表出。
   • $k_1{\eta }_1+k_2{\eta }_2+\dots +k_t{\eta }_t$ 是 $Ax=0$ 的通解，$k_1,k_2,\dots ,k_t$ 为任意常数。

2. 若 $r(A_{m\times n})=n$，则 $Ax=0$ 只有零解；

3. 若 $r(A_{m\times n})<n$，则 $Ax=0$ 有非零解；

4. 对于 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，若 $r(A_{m\times n})=m$，则 $Ax=b$ 有解。

5. 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 无解 $\iff r(A)+1=r(A|b)(只增广了一列)\iff b$ 不能由 $A$ 的列向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性表示。

6. 矩阵行等价：$A\sim B\iff PA=B\iff Ax=0,Bx=0$ 同解。

7. 矩阵列等价：$A\sim B\iff AQ=B$；

8. 矩阵等价：$A\sim B\iff PAQ=B$。

9. 若 $A_{m\times s}{B}_{s\times n}=C_{m\times n}$，则：

   • $C$ 的列向量能由 $A$ 的列向量线性表示，$B$ 为系数矩阵；
   • $C$ 的行向量能由 $B$ 的行向量线性表示，$A^T$ 为系数矩阵。

10. 若 $ABx=0$ 只有零解，则 $Bx=0$ 只有零解；

11. 若 $Bx=0$ 有非零解，则 $ABx=0$ 一定存在非零解。

12. 对于矩阵 $A_{m\times n}$，存在 $Q_{n\times m}$，使得 $AQ=E_m\iff r(A)=m$，$Q$ 的列向量线性无关。

13. 对于矩阵 $A_{m\times n}$，存在 $P_{n\times m}$，使得 $PA=E_n\iff r(A)=n$，$P$ 的行向量线性无关。

线性相关定义：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s\text{ 线性相关}$$
$$\iff \exists k_1,k_2,\dots ,k_s不全为零0，\text{ 使得 }{k}_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$$

矩阵表示与非零解的存在性：
$$\iff ({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_s\end{array}\right)=0\text{ 有非零解},\text{i.e.,}A\mathbf{x}=0\text{ 有非零解};$$

系数矩阵秩与未知数的关系：
$$\iff \text{rank}({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)<s,\text{即矩阵}A\text{的秩小于未知数的个数};$$

$m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩与齐次线性方程组解集的秩：
$$\begin{gathered} \text{若矩阵}A\text{的秩为}r,\text{则}n\text{元齐次线性方程组}A\mathbf{x}=0\text{ 的解集}S\text{ 的秩为:} \\ r(S)=n-r \end{gathered}$$

线性方程组同解定理的矩阵表述：
$$A\mathbf{x}=0\text{ 与 }B\mathbf{x}=0\text{ 同解}\iff R(A)=R(B).$$
以及：
$$A\mathbf{x}=0\text{ 与 }B\mathbf{x}=0\text{ 同解}\iff R(A)=R(B)=R\left[\begin{array}{c}A\\ -\\ B\end{array}\right]$$

特征值与特征向量：

• 特征值与矩阵 $A$ 的关系：$\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，满足 $Av=\lambda v$，其中 $v$ 是对应的特征向量。
• 针对不同的运算或函数，特征值的相应变化：

关于特征值和特征向量的性质：

• ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}=\text{tr}(A)$，$\det (A)={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$
• 若 $|A|\ne 0$，则 $A$ 没有零特征值。
• 性质1: 不同特征值对应的特征向量线性无关。
• 性质2: 若 $x_1,x_2$ 是 $A$ 同一特征值 $\lambda$ 的不同特征向量，并且 $k_1{x}_1+k_2{x}_2\ne 0$，则 $k_1{x}_1+k_2{x}_2$ 也是 $A$ 的特征向量。
• 性质3: 若 $x_1,x_2$ 为 $A$ 的不同特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$，则 $x_1+x_2$ 不是 $A$ 的特征向量。
• 性质4: $k$ 重特征值最多对应 $k$ 个线性无关的特征向量。

相似性和矩阵运算对特征值的影响：

• 若 $A$ 和 $B$ 相似
  $A^T\sim B^T$$A^{-1}\sim B^{-1}$$A^{\ast }\sim B^{\ast }$
  $|\mathbf{A}|=|\mathbf{B}|$，${\sum }_{i=1}^n{A}_{ii}={\sum }_{i=1}^n{B}_{ii}$，$\text{rank}(A)=\text{rank}(B)$
  $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}|$, 从而A, B 有相同的特征值

对于相似对角化过程：

1. 求出特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$；
2. 求出对应的特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$；
3. 构造矩阵 $P=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n]$，如果 $P$ 可逆，则有 $P^{-1}AP=\Lambda$ 是对角矩阵。

实对称矩阵的性质：

• 实对称矩阵 $A$ 总是可以对角化。
• 不同特征值对应的特征向量正交。
• 存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ=\Lambda$ （对角矩阵）。

$A\sim \Lambda$

意味着矩阵 ( A ) 可以通过相似变换对角化为对角矩阵( $\Lambda$ )，这个性质可以等价地表述为：

$\iff$$\text{rank}({\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A})=n-n_i,\text{其中}{\lambda }_i\text{ 是 }{n}_i\text{ 重特征值}$

这意味着对于每个特征值 ( ${\lambda }_i$ )，其对应的特征空间的维数为 ( $n_i$ )，即该特征值的代数重数等于其对应的特征子空间的维数。

$\iff$$A\text{ 有 }n\text{ 个线性无关的特征向量}$

即矩阵 ( A ) 的每个特征值都有足够的线性无关特征向量来构造一个最大可能的特征空间基底，从而可以实现对角化。

关于正定与二次型的性质：

1. 正定与二次型：

正惯性系数$p$，负惯性系数$q$。$p+q=r$，其中$r$为二次型的秩。

实对称矩阵合同 $⟺$ 他们的$p$和$q$相同。

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x^{T}Ax$ 正定
$⟺$ $A$的正惯性指数$p=n$
$⟺$ $A\cong E$，即存在可逆阵$C$，使得$C^{T}AC=E$
$⟺$ $A=D^{T}D$，其中$D$是可逆阵
$⟺$ $A$的全部特征值${\lambda }_i>0$，$i=1,2,\dots ,n$
$⟺$ $A$的全部顺序主子式大于零 $⟹$ $A$的主对角元素大于0 $⟹$ $|A|>0$。

2. $A$与$B$等价：

$A$与$B$等价
$⟺$ $A$经过初等变换得到$B$
$⟺$ $PAQ=B$，其中$P$和$Q$可逆
$⟺$ $r(A)=r(B)$，$A$与$B$同型。

3. $A$与$B$合同：

$A$与$B$合同
$⟺$ $C^{T}AC=B$，其中$C$可逆；

$⟺$ $x^{T}Ax$与$x^{T}Bx$有相同的正、负惯性指数。
4. $A$与$B$相似：

$A$与$B$相似 $⟺$ $P^{-1}AP=B$