树状数组及应用

目录

1.树状数组的概念与基本编码

1.1.引导

1.2.lowbit(x)

1.3.树状数组的编码

2.树状数组的基本应用

2.1.单点修改＋区间查询

2.2.区间修改+单点查询

例题：

2.3.区间修改＋区间查询

例题：

如果数列A是静态不变的，那么处理前缀和复杂度为O(n)，查询为O(1)，但如果序列是动态变化的，如改变其中一个元素，那么就需要重新计算前缀和，如果每次查询都有变化，那么复杂度会大幅度增加。

有两种数据结构可以高效的处理这个问题：树状数组与线段树。

1.树状数组的概念与基本编码

1.1.引导

如图所示，c[1] = A[1], c[2] = c[1] + A[2], c[3] = A[3], c[4] = c[2] + c[3] + A[4], ... , c[8] = c[4] + c[6] + c[7] + A[8]。

利用c数组可以高效的完成以下两个操作。

（1）查询，即求前缀和sum。
（2）维护，即元素a发生变化时，能以O()的高效率修改c[] 的值。

结论：

（1）查询过程是每次去掉二进制的最后一个1。例如，求sum[7]：

1. sum[7] += c[7]
2. 7的二进制是111，去掉最后一个1，得110，即c[6]，所以sum[7] += c[6]
3. 110，去掉最后一个1，得100，sum[7] += c[4]
4. 100，去掉最后一个1就没有了

故sum[7] = c[7] + c[6] + c[4]

（2）维护的过程是每次在二进制最后的1上加1。例如，更新a[3]：

1. 3的二进制是11，在最后一个1上加1，得100，所以修改c[4]；
2. 100，在最后一个1上加1，得1000，所以修改c[8]；
3. 继续修改c[16]，c[32]...

树状数组的关键就是找到最后一个1。

1.2.lowbit(x)

lowbit(x) = x & (-x)，功能为找到x的二进制数最后一个1。其原理是利用负数的补码，例如x = 6 = 000110， 补 = 111010，那么x & (-x) = 10 = 2；

lowbit(x) 部分结果如下：

令m = lowbit(x)，tree[x]的值是把和他前面共m个数相加的结果。

tree[]数组是通过lowbit计算出的树状数组，它能够以二分的复杂度存储一个数列的数据，具体的说，tree[x]存储的是区间[x - lowbit(x) + 1, x]的每个数的和。

1.3.树状数组的编码

下面给出单点修改＋区间查询的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define lowbit(x) (x & (-x))
const int N = 1000;
int tree[N];
void update(int x, int d) {//单点修改，修改玄素a[x]，a[x] = a[x] + dwhile (x <= N) {tree[x] += d;x += lowbit(x);}
}
ll sum(int x) {//查询前缀和：返回前缀和sum = a[1] + a[2] + .., + a[x]ll ans = 0;while (x > 0) {ans += tree[x];x -= lowbit(x);}return ans;
}
void solve() {int n;cin >> n;vector<ll> a(n + 1, 0);//a[0]不用memset(tree, 0, sizeof(tree));for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];update(i, a[i]);}//查询区间和：cout << "Old : sum([1,n-1]):" << sum(n - 1) - sum(0) << endl;//模拟一次修改,a[n-1] + 100update(n - 1, 100);cout << "New : sum([1,n-1]):" << sum(n - 1) - sum(0) << endl;
}
int main() {ios::sync_with_stdio;cin.tie(0);cout.tie(0);solve();return 0;
}
/*
输入：
10
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
输出：
Old : sum([1,n-1]):72
New : sum([1,n-1]):172
*/

此代码过程：

（1）初始化：先清空数组tree，然后读取a数组每一个元素，用update() 逐步处理这n个数，得到tree[]数组；
（2）求前缀和：用sum()计算，求和基于tree数组；
（3）单点修改：执行update()函数，修改数组tree[]。

2.树状数组的基本应用

2.1.单点修改＋区间查询

1.1.3.树状数组的编码已经给出

2.2.区间修改+单点查询

利用差分是前缀和的逆运算来求解

例题：

两种解法：

第一种，单纯的差分数组

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a, b, diff[100002];
int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);while (cin >> n && n != 0) {for (int i = 0; i <= n; i++) {diff[i] = 0;}for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> a >> b;diff[a] += 1;diff[b + 1] -= 1;}diff[1] += diff[0];cout << diff[1];for (int i = 2; i <= n; i++) {diff[i] += diff[i - 1];cout << ' ' << diff[i];}}return 0;
}

 第二种，利用树状数组

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define lowbit(x) (x & (-x))
const int N = 100010;
int tree[N];
void update(int x, int d) {while (x <= N) {tree[x] += d;x += lowbit(x);}
}
ll sum(int x) {ll ans = 0;while (x > 0) {ans += tree[x];x -= lowbit(x);}return ans;
}
void solve() {int n;while (cin >> n && n != 0) {memset(tree, 0, sizeof(tree));for (int i = 1; i <= n; i++) {int L, R;cin >> L >> R;update(L, 1);update(R + 1, -1);}for (int i = 1; i <= n; i++) {if (i != n)cout << sum(i) << ' ';else cout << sum(i) << endl;}}
}
int main() {ios::sync_with_stdio;cin.tie(0);cout.tie(0);solve();return 0;
}

2.3.区间修改＋区间查询

完成区间修改需要一个tree，区间查询也需要一个tree，所以可以利用两个tree达成此要求

=
=

所以可以分别处理d和(i-1)d两个数组的树状数组

例题：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define lowbit(x) (x & (-x))
const int N = 100010;
ll tree1[N], tree2[N];
void update1(ll x, ll d) {while (x <= N) {tree1[x] += d;x += lowbit(x);}
}
ll sum1(ll x) {ll ans = 0;while (x > 0) {ans += tree1[x];x -= lowbit(x);}return ans;
}
void update2(ll x, ll d) {while (x <= N) {tree2[x] += d;x += lowbit(x);}
}
ll sum2(ll x) {ll ans = 0;while (x > 0) {ans += tree2[x];x -= lowbit(x);}return ans;
}
void solve() {ll n, m;memset(tree1, 0, sizeof(tree1));memset(tree2, 0, sizeof(tree2));cin >> n >> m;ll old = 0, a;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a;update1(i, a - old);update2(i, (i - 1) * (a - old));old = a;}while (m--) {ll q, L, R, d;cin >> q;if (q == 1) {cin >> L >> R >> d;update1(L, d);update1(R + 1, -d);update2(L, (L - 1) * d);update2(R + 1, -R * d);}else {cin >> L >> R;cout << R * sum1(R) - sum2(R) - (L - 1) * sum1(L - 1) + sum2(L - 1) << endl;}}
}
int main() {ios::sync_with_stdio;cin.tie(0);cout.tie(0);solve();return 0;
}