统计信号处理基础 习题解答10-5
题目
通过令
并进行计算来重新推导MMSE估计量。提示：利用结果
解答
首先需要明确的是：
上式是关于观测值x 的函数
其次需要说明一下这个结果
和教材一样，我们用
求期望，需要注意的是，在贝叶斯情况下，
是个随机变量，而不是一个确定的值：
其中：
上式是X=x条件下的函数，因此
是x的函数，于
无关
而
因此，也就是得到了
或者更加通俗一点：
下面开始证明：
其中：
上式中
是x等参数的函数，但已经对θ完成了一次积分，所以肯定不是θ的函数。另外
是个估计量，在观察数据x等参数等参数明确情况下具有确定值，也不是θ的函数，因此：
而
上面又用到了
中不包含θ，且
而对比
，又得到：
因此：
把上面结果带入到
中，得到：
上式中，
和
都是大于等于0的项，因此，如果要使得
最小，那么用户可以选择估计量
，使得：
在这个情况下：
此时，
达到最小值，即：
