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最大连续子序列和问题详解

news 来源：原创 2024/6/23 11:25:56

最大连续子序列和问题如下：给定一个数字序列 $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ ，求i,j，使得 $A_{i}+\cdots +A_{j}$ 最大，输出这个最大和。

这个问题如果用暴力来做，枚举左端点和右端点，需要 $O\left ( n^{2} \right )$ 的复杂度，而计算 $A[i]+\cdots +A[j]$ 需要 $O\left ( n \right )$ 的复杂度，因此总时间复杂度为 $O\left ( n^{3} \right )$ 。就算采用记录前缀和的方法（预处理S[i]=A[0]+A[1]+…+A[i]，这样A[i]+…+A[j]=S[j]-S[i-1]）使计算的时间变为 $O\left ( 1 \right )$ ，总时间复杂度仍然有 $O\left ( n^{2} \right )$ ，这对n为 $10^{5}$ 大小的题目来说是无法承受的。

下面介绍动态规划的做法，时间复杂度为 $O\left ( n \right )$ 。

（1）令状态dp[i]表示以A[i]作为末尾的连续序列的最大和。例子：序列-2 11 -4 13 -5 -2，下标分别记为0，1，2，3，4，5，那么

dp[0]=-2
dp[1]=11
dp[2]=7(11+(-4))
dp[3]=20(11+(-4)+13)
dp[4]=15(11+(-4)+13+(-5))
dp[5]=13

通过设置这么一个dp数组，要求的最大和其实就是dp[0],dp[1],…dp[n-1]中的最大值，下面想办法求解dp数组。

（2）做如下考虑：因为dp[i]要求是必须以A[i]结尾的连续序列，那么只有两种情况：

1.这个最大和的连续序列只有一个元素，即以A[i]开始，以A[i]结尾。

2.这个最大和的连续序列有多个元素，即从前面某处A[p]开始，一直到A[i]结尾。

对第一种情况，最大和就是A[i]本身。

对第二种情况，最大和是dp[i-1]+A[i]，即A[p]+…+A[i-1]+A[i]=dp[i-1]+A[i]。

由于只有这两种情况，于是得到状态转移方程：

$dp[i]=max\left ( A[i],dp[i-1]+A[i] \right )$

这个式子只和i与i之前的元素有关，且边界为dp[0]=A[0]，由此从小到大枚举i，即可得到整个dp数组。接着输出dp[0],dp[1],…dp[n-1]中的最大值即为最大连续子序列的和。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=10010;
int A[maxn],dp[maxn];
int main(){int n;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){cin>>A[i];}dp[0]=A[0];for(int i=1;i<n;i++){dp[i]=max(A[i],dp[i-1]+A[i]);}int k=0;for(int i=1;i<n;i++){if(dp[i]>dp[k]){k=i;}}cout<<dp[k]<<endl;return 0;
}