【线性代数】第七章-二次型
文章目录
- 一. 基本内容与重要结论
- 1. 二次型、二次型矩阵
- 2. 标准型与规范型
- 3. 惯性指数
- 4. 坐标变换
- 5. 矩阵合同
- 6. 正定矩阵与正定二次型
- 二. 主要定理
- 1. 二次型变换为标准型的相关定理
- 1.1. 二次型的坐标变换
- 1.2. 任意二次型都可变换为标准型
- 1.3.二次型的矩阵（就是是实对称矩阵）总可以合同一个对角矩阵
- 1.4. 实对称矩阵总可以（通过正交变换）化成标准形
- 2. 惯性定理
- 3. 二次型正定的充要条件
二次型的两大板块要复习整理清楚，一个是标准形，另一个是正定性.
- 了解二次型的概念，掌握用矩阵形式表示二次型，了解
合同变换和合同矩阵的概念.- 理解二次型
秩的概念，
- 了解二次型的
标准形、规范形等概念- 了解
惯性定理的条件和结论，掌握用正交变换化二次型为标准形的方法- 了解
用配方法化二次型为标准形的方法
- 理解
正定二次型、正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的性质。
一. 基本内容与重要结论
1. 二次型、二次型矩阵
注意：二次型规定，aij=aji，也就是二次型的矩阵是对称矩阵。
2. 标准型与规范型
3. 惯性指数
4. 坐标变换
5. 矩阵合同
合同的传递性。
6. 正定矩阵与正定二次型
A如果是正定矩阵则A=A的转置，就是对称矩阵其实。
二. 主要定理
1. 二次型变换为标准型的相关定理
1.1. 二次型的坐标变换
B不一定是对角矩阵。
若矩阵A与矩阵B均为n阶方阵，则A与B相似的必要条件为：
1、A与B的特征值相同。
2、λE-A与λE-B等价。
3、tr(A)=tr(B)。 对角元素之和
4、|A|=|B|。
1.2. 任意二次型都可变换为标准型
1.3.二次型的矩阵（就是是实对称矩阵）总可以合同一个对角矩阵
1.4. 实对称矩阵总可以（通过正交变换）化成标准形
能够化成标准型说明了几个信息:
- 通过正交变换后的矩阵是对角矩阵；
- 变换后的矩阵，与变换前的矩阵相似且合同。
求标准型就是求矩阵的特征值。
2. 惯性定理
合同则有相同规范型，p、q个数不变。
3. 二次型正定的充要条件
（2）：说明二次型能化成规范型