当前位置：首页 > news >正文

多元多项式的特征列与零点的关系定理

news 来源：原创 2024/9/29 7:13:48

下面这个定理来自《计算机代数》6.1三角列与特征列（王东明、夏壁灿著）

【定理】

设 $\mathbb{C =}\left\lbrack C_{1},\ldots,C_{r} \right\rbrack$ 为多项式组 $\mathbb{P \subset}\mathcal{K\lbrack}\mathbf{x}\rbrack$ 的特征列，且命

$I_{i} = ini\left( C_{i} \right)\ \ \ \ \ \ \mathbb{P}_{i}\mathbb{= P \cup}\left\{ I_{i} \right\}\ \ \ \ \ i = 1,\ldots,r$

$\mathbb{I =}ini\left( \mathbb{C} \right) = \left\{ I_{1},\ldots,I_{r} \right\}$

则

$\ I ) ⊂ Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right)$

$\ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) = Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)}$

在 $\mathcal{K}$ 以及 $\mathcal{K}$ 的任意扩域中成立

【证明】

$\ I ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right)$

由于 $\mathbb{C =}\left\lbrack C_{1},\ldots,C_{r} \right\rbrack$ 为多项式组 $\mathbb{P \subset}\mathcal{K\lbrack}\mathbf{x}\rbrack$ 的特征列，所以 $prem\left( \mathbb{P,C} \right) = \left\{ 0 \right\}$ ，也就是说对于任意 $\in \mathbb{P}$ ，都有

$I_{1}^{q_{1}}\ldots I_{r}^{q_{r}}P = \sum_{i = 1}^{r}C_{i}$

而对于任意的 $\ I ) x \in Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right)$ ，都有 $\notin Zero\left( I_{1}^{q_{1}}\ldots I_{r}^{q_{r}} \right)$ 且 $\in Zero\left( C_{i} \right)$ ，那么 $P = 0$ ，可得 $\in Zero\left( \mathbb{P} \right)$ ，即 $\ I ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right)$ 。

$Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right)$

根据特征列的定义，有 $\mathbb{C \subset}\left\langle \mathbb{P} \right\rangle$ ，也就是

$C_{i} = \sum_{P \in \mathbb{P}}^{}{k_{P}P}$

所以，当多项式 $P$ 的值为 $0$ 时， $C_{i}$ 必为 $0$ ，即 $Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right)$ 。

$\ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)}$

设 $\in Zero\left( \mathbb{P} \right)$ ，根据2，那么有 $\in Zero\left( \mathbb{C} \right)$ 。

若 $\in Zero\left( \mathbb{I} \right)$ ，则 $\in \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( I_{i} \right)}$ ，又因为 $\in Zero\left( \mathbb{P} \right)$ ，所以 $\in \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)}$ ；

若 $\notin Zero\left( \mathbb{I} \right)$ ，结合 $\in Zero\left( \mathbb{C} \right)$ ，可得 $\ I ) x \in Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right)$ 。

结合上述两种情况的讨论，可得 $\ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)}$ 。

$\ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \supset Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)}$

根据1， $\ I ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right)$ ；

因为 $Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right)$ ，所以 $\bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} \subset Zero\left( \mathbb{P} \right)$ 。

综合可得 $\ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} \subset Zero\left( \mathbb{P} \right)$

综合1、2可得
$\ I ) ⊂ Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right)$

综合3、4可得
$\ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) = Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)}$