证明 几何分布 的期望和方差
几何分布
几何分布（Geometric Distribution）描述了在进行一系列独立的伯努利试验时，第一次成功所需的试验次数。假设每次试验成功的概率为 ( p )，则几何分布的概率质量函数（PMF）为：
P ( X = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p , k = 1 , 2 , 3 , … P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots P(X=k)=(1−p)k−1p,k=1,2,3,…
其中，随机变量 ( X ) 表示第一次成功所需的试验次数。
期望值
期望值（Expectation）表示随机变量的平均值。对于几何分布 ( X )，期望值 ( \mathbb{E}(X) ) 定义为：
E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ k ⋅ P ( X = k ) \mathbb{E}(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X = k) E(X)=k=1∑∞k⋅P(X=k)
代入几何分布的概率质量函数：
E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ k ⋅ ( 1 − p ) k − 1 p \mathbb{E}(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k-1} p E(X)=k=1∑∞k⋅(1−p)k−1p
我们可以将 ( p ) 提取出来：
E ( X ) = p ∑ k = 1 ∞ k ⋅ ( 1 − p ) k − 1 \mathbb{E}(X) = p \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k-1} E(X)=pk=1∑∞k⋅(1−p)k−1
为了计算这个和，我们使用以下求和公式：
∑ k = 1 ∞ k x k − 1 = 1 ( 1 − x ) 2 for ∣ x ∣ < 1 \sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1 - x)^2} \quad \text{for} \quad |x| < 1 k=1∑∞kxk−1=(1−x)21for∣x∣<1
在这里，令 ( x = 1 - p )，因此有：
∑ k = 1 ∞ k ⋅ ( 1 − p ) k − 1 = 1 p 2 \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k-1} = \frac{1}{p^2} k=1∑∞k⋅(1−p)k−1=p21
代入上面的结果：
E ( X ) = p ⋅ 1 p 2 = 1 p \mathbb{E}(X) = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p} E(X)=p⋅p21=p1
方差
方差（Variance）表示随机变量与其期望值之间的离散程度，记作 ( \text{Var}(X) )。方差的定义为：
Var ( X ) = E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 \text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^2] = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2 Var(X)=E[(X−E(X))2]=E(X2)−(E(X))2
首先，我们计算 ( \mathbb{E}(X^2) )。利用几何级数求和，我们有：
E ( X 2 ) = ∑ k = 1 ∞ k 2 ⋅ ( 1 − p ) k − 1 p \mathbb{E}(X^2) = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot (1 - p)^{k-1} p E(X2)=k=1∑∞k2⋅(1−p)k−1p
我们使用以下求和公式：
∑ k = 1 ∞ k 2 x k − 1 = 1 + x ( 1 − x ) 3 for ∣ x ∣ < 1 \sum_{k=1}^{\infty} k^2 x^{k-1} = \frac{1 + x}{(1 - x)^3} \quad \text{for} \quad |x| < 1 k=1∑∞k2xk−1=(1−x)31+xfor∣x∣<1
令 ( x = 1 - p )，因此有：
∑ k = 1 ∞ k 2 ⋅ ( 1 − p ) k − 1 = 1 + ( 1 − p ) ( 1 − ( 1 − p ) ) 3 = 2 − p p 3 \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot (1 - p)^{k-1} = \frac{1 + (1 - p)}{(1 - (1 - p))^3} = \frac{2 - p}{p^3} k=1∑∞k2⋅(1−p)k−1=(1−(1−p))31+(1−p)=p32−p
因此，
E ( X 2 ) = p ⋅ 2 − p p 3 = 2 − p p 2 \mathbb{E}(X^2) = p \cdot \frac{2 - p}{p^3} = \frac{2 - p}{p^2} E(X2)=p⋅p32−p=p22−p
现在我们可以计算方差：
Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 = 2 − p p 2 − ( 1 p ) 2 = 2 − p p 2 − 1 p 2 = 2 − p − 1 p 2 = 1 − p p 2 \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2 = \frac{2 - p}{p^2} - \left(\frac{1}{p}\right)^2 = \frac{2 - p}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{2 - p - 1}{p^2} = \frac{1 - p}{p^2} Var(X)=E(X2)−(E(X))2=p22−p−(p1)2=p22−p−p21=p22−p−1=p21−p
结论
对于几何分布 ( X )，其期望值和方差分别为：
E ( X ) = 1 p \mathbb{E}(X) = \frac{1}{p} E(X)=p1
Var ( X ) = 1 − p p 2 \text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} Var(X)=p21−p
这些结果表明，在进行一系列独立的伯努利试验中，第一次成功所需的试验次数的平均值是E(x)，而离散程度由Var(x)决定。