微积分-导数6（隐式导数）
隐式导数
前面我们学了如何求这些方程的导数：
y = x 3 + 1 or y = x sin x y = \sqrt{x^3+1} \quad \text{or} \quad y = x\sin x y=x3+1ory=xsinx
但是如果是下面的方程，又该如何求导呢？
x 3 + y 3 = 6 x y x^3 + y^3 = 6xy x3+y3=6xy
这个方程的图像是这样的。
假设 y y y在 x x x是可导的，那么可以应用隐式求导：
x 3 + [ f ( x ) ] 3 = 6 x f ( x ) x^3 + [f(x)]^3 = 6xf(x) x3+[f(x)]3=6xf(x)
例一
(a) 如果 x 2 + y 2 = 25 x^2 + y^2 = 25 x2+y2=25, 求 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy。
(b) 求圆上一点 ( 3 , 4 ) (3,4) (3,4)的切线。
解：
(a) d d x ( x 2 + y 2 ) = d d x ( 25 ) d d x ( x 2 ) + d d x ( y 2 ) = 0 d d x ( x 2 ) + 2 y d y d x = 0 2 x + 2 y d y d x = 0 d y d x = − x y \begin{align*} \frac{d}{dx}(x^2 + y^2) &= \frac{d}{dx}(25)\\ \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) &= 0\\ \frac{d}{dx}(x^2) + 2y\frac{dy}{dx} &= 0\\ 2x+2y\frac{dy}{dx} &= 0\\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{x}{y} \end{align*} dxd(x2+y2)dxd(x2)+dxd(y2)dxd(x2)+2ydxdy2x+2ydxdydxdy=dxd(25)=0=0=0=−yx
(b) d y d x = − 3 4 \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4} dxdy=−43
因此
y − 4 = − 3 4 ( x − 3 ) or 3 x + 4 y = 25 y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \quad \text{or} \quad 3x+4y = 25 y−4=−43(x−3)or3x+4y=25
例二
(a) 如果 x 3 + y 3 = 6 x y x^3 + y^3 = 6xy x3+y3=6xy，求 y ′ y' y′。
(b) 求点 ( 3 , 3 ) (3,3) (3,3)上的切线。
(c) 在第一象限的哪个点的切线是水平的？
例三 求 sin ( x + y ) = y 2 cos x \sin(x+y) = y^2 \cos x sin(x+y)=y2cosx 的导数。
例四 求 x 4 + y 4 = 16 x^4 + y^4 = 16 x4+y4=16 的二次导数。
解：
先求出 y ′ y' y′
4 x 3 + 4 y 3 y ′ = 0 ⇒ y ′ = − x 3 y 3 4x^3 + 4y^3y' = 0 \quad \Rightarrow \quad y' = -\frac{x^3}{y^3} 4x3+4y3y′=0⇒y′=−y3x3
再求 y ′ ′ y'' y′′
y ′ ′ = d d x ( − x 3 y 3 ) = − y 3 ( d / d x ) ( x 3 ) − x 3 ( d / d x ) ( y 3 ) ( y 3 ) 2 = − y 3 ⋅ 3 x 2 − x 3 ( 3 y 2 y ′ ) y 6 \begin{align*} y'' &= \frac{d}{dx}(-\frac{x^3}{y^3}) = -\frac{y^3(d/dx)(x^3)-x^3(d/dx)(y^3)}{(y^3)^2}\\ &= -\frac{y^3\cdot 3x^2 - x^3(3y^2y')}{y^6} \end{align*} y′′=dxd(−y3x3)=−(y3)2y3(d/dx)(x3)−x3(d/dx)(y3)=−y6y3⋅3x2−x3(3y2y′)
带入 y ′ y' y′ 就有
y ′ ′ = − y 3 ⋅ 3 x 2 − x 3 3 y 2 ( − x 3 y 3 ) y 6 = − 3 ( x 2 y 4 + x 6 ) y 7 = − 3 x 2 ( y 4 + x 4 ) y 7 \begin{align*} y'' &= -\frac{y^3\cdot 3x^2 - x^33y^2(-\frac{x^3}{y^3})}{y^6}\\ &= -\frac{3(x^2y^4+x^6)}{y^7} = -\frac{3x^2(y^4+x^4)}{y^7} \end{align*} y′′=−y6y3⋅3x2−x33y2(−y3x3)=−y73(x2y4+x6)=−y73x2(y4+x4)
因为 x 4 + y 4 = 16 x^4 + y^4 = 16 x4+y4=16 所以
y ′ ′ = − 3 x 2 ( 16 ) y 7 = − 48 x 2 y 7 y'' = -\frac{3x^2(16)}{y^7} = -48\frac{x^2}{y^7} y′′=−y73x2(16)=−48y7x2