应变与几何方程——弹性力学
变形协调方程
- 正应变的表达式：
- 切应变的表达：
考虑坐标位移移动造成的增量
应变——考虑物体的变形的剧烈程度
正应变——微元线段长度的变化
剪应变——两微元所夹角度的变化
正应变——拉伸为正，压缩为负
剪应变——夹角减小为正，增大为负
正应变的表达式：
A点的变化：
A ′ A' A′点的坐标减去 P ′ P' P′点的坐标
∣ P ′ A ′ ∣ = u + ∂ u ∂ x d x − u |P'A'|=u+\frac{\partial u}{\partial x}dx-u ∣P′A′∣=u+∂x∂udx−u
ϵ x = P ′ A ′ − P A P A = u + ∂ u ∂ x d x − u + x A − x P − ∣ P A ∣ = ∂ u ∂ x d x \epsilon_x=\frac{P'A'-PA}{PA}=u+\frac{\partial u}{\partial x}dx-u+x_A-x_P-|PA|=\frac{\partial u}{\partial x}dx ϵx=PAP′A′−PA=u+∂x∂udx−u+xA−xP−∣PA∣=∂x∂udx
x A x_A xA是A点原来在x方向上的坐标
P A P_A PA是P点原来在x方向上的坐标
P A PA PA的长度 ∣ P A ∣ |PA| ∣PA∣就是 x A − x P x_A-x_P xA−xP
由此可以得到三个方向的正应变
ϵ x = ∂ u ∂ x d x \epsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x}dx ϵx=∂x∂udx
ϵ y = ∂ u ∂ y d y \epsilon_y=\frac{\partial u}{\partial y}dy ϵy=∂y∂udy
ϵ z = ∂ u ∂ z d z \epsilon_z=\frac{\partial u}{\partial z}dz ϵz=∂z∂udz
切应变的表达：
对 α \alpha α求正切，竖直方向的改变量除以改变的长度 d x dx dx
t a n α = ( v + ∂ v ∂ x d x ) − ( v ) d x = ∂ v ∂ x tan \alpha=\frac{(v+\frac{\partial v}{\partial x}dx)-(v)}{dx}=\frac{\partial v}{\partial x} tanα=dx(v+∂x∂vdx)−(v)=∂x∂v
因为 α \alpha α和 t a n α tan \alpha tanα等价无穷小
所以在一个小的角度范围内:
α = ( v + ∂ v ∂ x d x ) − ( v ) d x = ∂ v ∂ x \alpha=\frac{(v+\frac{\partial v}{\partial x}dx)-(v)}{dx}=\frac{\partial v}{\partial x} α=dx(v+∂x∂vdx)−(v)=∂x∂v
则 β = ∂ u ∂ y \beta=\frac{\partial u}{\partial y} β=∂y∂u
γ x y = α + β = ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y \gamma_{xy}=\alpha+\beta=\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} γxy=α+β=∂x∂v+∂y∂u
切应变：交叉偏导之和
变形协调方程的推导
推导过程：
对于几何微小元体：
其具有应变三个方向的应变：
∂ 2 ϵ x ∂ y 2 + ∂ 2 ϵ y ∂ x 2 = ∂ 2 γ x y ∂ x ∂ y \frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x^2}=\frac{\partial^2\gamma_{xy} }{\partial x \partial y} ∂y2∂2ϵx+∂x2∂2ϵy=∂x∂y∂2γxy