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算法-插入排序

news 来源：原创 2024/9/19 12:46:34

插入排序实现

以下是插入排序的Python实现。

让我们来一步步地讲解。我会先摘出代码片段，然后给出解释。

首先，发起一个从索引1开始的循环来遍历数组。变量index保存的是当前索引。

然后在内部发起一个while循环，以检查position左侧的值是否大于temp_value。若是，则用array[position]=array[position -1]将该值右移一格，并将position减1。然后继续检查新position左侧的值是否大于temp_value……如此重复，直至遇到的值比temp_value小。

最后，将temp_value放回到数组的空隙中。

插入排序效率分析

插入排序包含4种步骤：移除、比较、平移和插入。要分析插入算法的效率，就得把每种步骤都统计一遍。

首先看看比较。每次拿temp_value跟空隙左侧的值比大小就是比较。

在数组完全逆序的最坏情况下，我们每一轮都要将temp_value左侧的所有值与temp_value比较。因为那些值全都大于temp_value，所以每一轮都要等到空隙移到最左端才能结束。

在第一轮，temp_value为索引1的值，由于temp_value左侧只有一个值，所以最多进行一次比较。到了第二轮，最多进行两次比较，以此类推。到最后一轮时，就要拿temp_value以外的所有值与其进行比较。换言之，如果数组有 $N$ 个元素，则最后一轮中最多进行 $N$ -1次比较。

因而可以得出比较的总次数为：

1 + 2 + 3 + … + $N$ -1次。

对于有5个元素的数组，最多需要：

1 + 2 + 3 + 4=10次比较。

对于有10个元素的数组，最多需要：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9=45次比较。

（对于有20个元素的数组，最多需要190次比较，以此类推。）

由此可发现一个规律：对于有 $N$ 个元素的数组，大约需要 $N^{2}$ / 2次比较（102/ 2是50,202/ 2是200）。

接下来看看其他几种步骤。

我们每次将值右移一格，就是平移操作。当数组完全逆序时，有多少次比较就要多少次平移，因为每次比较的结果都会使你将值右移。

把最坏情况下的比较步数和平移步数相加。

$N^{2}$ / 2次比较+ $N^{2}$ / 2次平移= $N^{2}$ 步

temp_value的移除跟插入在每一轮里都会各发生一次。因为总是有 $N$ -1轮，所以可以得出结论：有 $N$ -1次移除和 $N$ -1次插入。把它们都相加。 $N^{2}$ 比较和平移的合计+ $N$ -1次移除+ $N$ -1次插入= $N^{2}$ + 2 $N$ -2步。

我们已经知道大O有一条重要规则——忽略常数，于是你可能会将其简化成O( $N^{2}$ + $N$ )。不过，现在来学习一下大O的另一条重要规则：大O只保留最高阶的 $N$ 。

换句话说，如果有个算法需要 $N^{4}$ + $N^{3}$ + $N^{2}$ + $N$ 步，我们就只会关注其中的 $N^{4}$ ，即以O( $N^{4}$ )来表示。为什么呢？请看下表。

随着 $N$ 的变大， $N^{4}$ 的增长越来越抛离其他阶。当 $N$ 为1000时， $N^{4}$ 就比 $N^{3}$ 大了1000倍。因此，我们只关心最高阶的 $N$ 。

所以在插入排序的例子中，O( $N^{2}$ + $N$ )还得进一步简化成O( $N^{2}$ )。你会发现，在最坏的情况里，插入排序的时间复杂度跟冒泡排序、选择排序一样，都是O( $N^{2}$ )。不过之前文章中指出，虽然冒泡排序和选择排序都是O( $N^{2}$ )，但选择排序实际上是 $N^{2}$ / 2步，比 $N^{2}$ 步的冒泡排序更快。乍一看，你可能会觉得插入排序跟冒泡排序一样，因为它们都是O( $N^{2}$ )，其实插入排序是 $N^{2}$ + 2 $N$ -2步。