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《2024华数杯》C题第四问模型建立+优化算法

news 来源：原创 2024/9/22 5:36:48

第四问解决思路

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目标
在144小时内，外国游客要尽可能游览更多的城市，同时要使门票和交通的总费用尽可能少。
模型与假设
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假设：
○ 游客在每个城市只游览一个评分最高的景点。
○ 城市之间的交通方式只选择高铁。
○ 游览的城市必须是“最令外国游客向往的50个城市”。
模型：
○ 旅行时间约束：( $\leq 144 \text{小时}$ )
○ 费用目标：最小化总费用 ( C )，包括门票费用 ( $C_{\text{ticket}}$ ) 和交通费用 ( $C_{\text{transport}}$ )。
步骤与公式
数据预处理：
○ 获取每个城市评分最高的景点，记录其门票费用、建议游玩时长。
○ 获取50个最向往城市的高铁票价及高铁旅行时间。
定义变量：
○ ( n )：游玩的城市数量。
○ ( i, j )：城市索引。
○ ( $T_i$ )：游玩城市 ( i ) 的时间（包括交通时间和景点游玩时间）。
○ ( $C_{ij}$ )：从城市 ( i ) 到城市 ( j ) 的交通费用。
○ ( $C_{\text{ticket}, i}$ )：城市 ( i ) 的景点门票费用。
○ ( $d_{ij}$ )：从城市 ( i ) 到城市 ( j ) 的交通时间。
目标函数：
$\text{minimize} ; C = \sum_{i=1}{n} C_{\text{ticket}, i} + \sum_{i=1}{n-1} C_{ij} ]$
其中， ( C ) 为总费用。
约束条件：
○ 总时间约束：
$\sum_{i=1}{n-1} d_{ij} + \sum_{i=1}{n} T_i \leq 144 \text{小时} ]$
○ 每个城市只游览一次：
$\sum_{i=1}^{n} x_i = 1 ; (x_i \in {0,1}) ]$
○ 连续城市间的高铁时间和费用需要考虑顺序：
$d_{ij} \text{ 和 } C_{ij} \text{ 依赖于 } (i,j) \text{ 的顺序} ]$
路径规划：
使用优化算法（如动态规划、贪心算法、整数线性规划）来找到总费用最小的路径，同时满足时间约束。
实施步骤
数据收集：
○ 收集50个最向往城市的高铁时间和票价。
○ 收集每个城市评分最高景点的门票费用和建议游玩时间。
路径规划：
○ 使用优化算法求解路径问题。
○ 初始方案可以使用贪心算法，逐步选择下一个城市，使得当前选择的交通费用最低，并满足时间约束。
迭代优化：
○ 使用动态规划或者启发式算法（如模拟退火、遗传算法）进一步优化路径，确保找到费用最小的解。
计算公式示例
总时间计算：
$T_{\text{total}} = \sum_{i=1}{n-1} d_{ij} + \sum_{i=1}{n} T_i ]$
总费用计算：
$C_{\text{total}} = \sum_{i=1}{n} C_{\text{ticket}, i} + \sum_{i=1}{n-1} C_{ij} ]$
输出结果
最终输出包括：
规划的游玩路线（城市顺序）。
总花费时间。
总费用（门票和交通）。
游玩的城市数量。