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数据结构二叉树和堆总结

news 来源：原创 2024/9/19 3:05:39

树

概念

树是一种层次结构非线性的数据结构，其是由节点和边组成，可以用来表示层次关系的数据。

树的相关概念

节点：树的基本组成单位，每个节点都包含数据，同时与其他节点相互连接
根节点：树的顶层节点，没有父节点
子节点：由一个节点直接连接的下层节点
父节点：直接连接子节点的上层节点
叶子节点：没有子节点的就是叶子节点
内部节点：至少有一个子节点的节点
兄弟节点：具有同一个父节点的节点
路径：从一个节点到另外一个节点所经过的节点路径
深度：节点到根节点的路径长度
高度：节点到叶子节点的最长路径长度
度：节点的子节点数
子树：由某个节点机器所有后代节点组成的树

二叉树

概念

二叉树是一种特殊的树结构，其每个节点最多有两个子节点，也就是左子节点和右子节点，二叉树可以为空（没有节点，也可以只有一个根节点）。

二叉树性质

重要性质总结

节点数与层数：

二叉树第iii层上最多有 2i−12^{i-1}2i−1 个节点。
深度为 hhh 的二叉树最多有 2h−12^h - 12h−1 个节点。

满二叉树：

深度为 hhh 且有 2h−12^h - 12h−1 个节点的二叉树称为满二叉树。
满二叉树中每一层的节点数都达到最大。

完全二叉树：

深度为 hhh 且有 nnn 个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为 hhh 的满二叉树中编号为 1 到 nnn 的节点对应时，称其为完全二叉树。
完全二叉树除了最后一层外，每层都是满的，且最后一层的节点从左到右依次排列。

节点的度：

二叉树中度为 0 的节点（即叶节点）的数量为 n0n_0n0。
度为 2 的节点数量为 n2n_2n2。
对于一个二叉树，满足关系 n0=n2+1n_0 = n_2 + 1n0=n2+1。

二叉树的遍历：

前序遍历（Pre-order Traversal）：先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树。
中序遍历（In-order Traversal）：先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树。
后序遍历（Post-order Traversal）：先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。
层次遍历（Level-order Traversal）：按层次从上到下，从左到右依次访问各节点。

子树：

每个节点的左子树和右子树也是二叉树。

树的高度：

二叉树的高度是从根节点到叶节点的最长路径的节点数。

平衡二叉树：

一种特殊的二叉树，任何一个节点的左右子树的高度差不超过 1。常见的平衡二叉树包括 AVL 树和红黑树。

二叉树存储结构

链式存储结构：一个节点中有一个表示数据的，以及左右节点指针

#include<iostream>struct TreeNode
{int data;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int value):data(value),left(nullptr),right(nullptr){}
};TreeNode* CreateTree()
{TreeNode* root = new TreeNode(1);root->left = new TreeNode(2);root->right = new TreeNode(3);root->left->left = new TreeNode(4);root->left->right = new TreeNode(5);root->right->left = new TreeNode(6);root->right->right = new TreeNode(7);return root;
}void prevOrderTree(TreeNode* root)
{if (root == nullptr) return;std::cout << root->data << " ";prevOrderTree(root->left);prevOrderTree(root->right);
}int main()
{TreeNode* root = CreateTree();prevOrderTree(root);std::cout << std::endl;return 0;
}

顺序存储结构：使用一个数组进行存储，针对于第i个节点，2i位置是左子树，2i+1节点是右子树（基本不用，只适合完全静态的树）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>std::vector<int> createBinaryTreeArray() {// 假设二叉树的深度为3std::vector<int> tree(8);  // 大小为2^3 = 8，index从0开始tree[1] = 1;  // 根节点tree[2] = 2;  // 左子节点tree[3] = 3;  // 右子节点tree[4] = 4;  // 左子节点的左子节点tree[5] = 5;  // 左子节点的右子节点tree[6] = 6;  // 右子节点的左子节点tree[7] = 7;  // 右子节点的右子节点return tree;
}void preOrderTraversalArray(const std::vector<int>& tree, int index) {if (index >= tree.size() || tree[index] == 0) return;std::cout << tree[index] << " ";preOrderTraversalArray(tree, 2 * index);     // 左子节点preOrderTraversalArray(tree, 2 * index + 1); // 右子节点
}int main() {std::vector<int> tree = createBinaryTreeArray();std::cout << "Pre-order traversal: ";preOrderTraversalArray(tree, 1);  // 从根节点开始遍历std::cout << std::endl;return 0;
}

前中后序遍历

总结

前序遍历：根--左--右
后序遍历：左--右--根
中序遍历：左--根--右

#include<iostream>struct TreeNode
{int data;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int value):data(value),left(nullptr),right(nullptr){}
};TreeNode* CreateTree()
{TreeNode* root = new TreeNode(1);root->left = new TreeNode(2);root->right = new TreeNode(3);root->left->left = new TreeNode(4);root->left->right = new TreeNode(5);root->right->left = new TreeNode(6);root->right->right = new TreeNode(7);return root;
}void prevOrderTree(TreeNode* root)
{if (root == nullptr) return;std::cout << root->data << " ";prevOrderTree(root->left);prevOrderTree(root->right);
}void inOrderTree(TreeNode* root)
{if (root == nullptr) return;inOrderTree(root->left);std::cout << root->data << " ";inOrderTree(root->right);
}void postOrderTree(TreeNode* root)
{if (root == nullptr) return;postOrderTree(root->left);postOrderTree(root->right);std::cout << root->data << " ";
}int main()
{TreeNode* root = CreateTree();std::cout << "前序遍历:";prevOrderTree(root);std::cout << std::endl;std::cout << "中序遍历:";inOrderTree(root);std::cout << std::endl;std::cout << "后序遍历:";postOrderTree(root);std::cout << std::endl;return 0;
}

层序遍历

实现方式：借助队列实现

初始化队列，将根节点的数值放入进去
设置循环直到队列为空：队列中提取并出队，然后分别放入左右的数值进行循环判断

#include<iostream>
#include<queue>struct TreeNode
{int data;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int value):data(value),left(nullptr),right(nullptr){}
};TreeNode* CreateTree()
{TreeNode* root = new TreeNode(1);root->left = new TreeNode(2);root->right = new TreeNode(3);root->left->left = new TreeNode(4);root->left->right = new TreeNode(5);root->right->left = new TreeNode(6);root->right->right = new TreeNode(7);return root;
}void levelOrderTree(TreeNode* root)
{if (!root) return;std::queue<TreeNode*>q;q.push(root);while (!q.empty()){TreeNode* tem = q.front();q.pop();std::cout << tem->data << " ";if (tem->left) q.push(tem->left);if (tem->right) q.push(tem->right);}
}int main()
{TreeNode* root = CreateTree();levelOrderTree(root);std::cout << std::endl;return 0;
}

堆

存储方式

通常借助数组来存储
父节点下标：（i -1）/2
左孩子：2i + 1
右孩子：2i + 2

概念

堆是一颗完全二叉树，除了最后一层，所有层都是满的，并且最后一层的节点是从左往右依次排列
堆主要有两种表现形式
大堆：每个节点的值都大于等于其子节点的值
小堆：每个节点的值都小于等于其节点的值

向上调整与向下调整

向上调整

插入新元素时，将新元素放入到堆的末尾
从新插入元素的下标（堆的末尾），检查父节点是否比自己大或者小（根据大小堆来决定，大堆的话则是当前元素比父元素大就交换）
如果大于或者小于父节点，则交换两个节点，然后当前下标更新成为父元素的下标，继续检查
重复此过程，直到当前元素不大于父元素，或者已经到达栈顶
事例代码（建大堆）
场景：当插入新元素的时候使用向上调整，因为新元素是插入到数组尾部

	//向上调整void AdjuestUp(int index){while (index > 0 && heap[index] > heap[(index - 1) / 2]){std::swap(heap[index], heap[(index - 1) / 2]);index = (index - 1) / 2;}}

向下调整

从堆中删除第一个元素（大堆就是删除最大元素，小堆则是最小）下面叙述按照大堆逻辑。将堆的最后一个元素移动到堆顶
从堆顶开始，找到当前节点、左孩子、右孩子三个节点的最大值
如果当前节点不是最大值，则将其与最大值节点交换，并更新当前索引为最大子节点索引，继续检查
重复上述过程，直到当前节点大于或者等于其子节点，或者已经到达堆的底部
使用场景：删除元素的时候
代码事例，大堆的向下调整

//改写法适合排序堆排使用void AdjustDown(vector<int>& arr, int n, int i)
{int largest = i;int left = 2 * i + 1, right = 2 * i + 2;if (left<n && arr[left]>arr[largest]) largest = left;if (right<n && arr[right]>arr[largest]) largest = right;if (largest != i){swap(arr[i], arr[largest]);AdjustDown(arr, n, largest);}
}

	//向下调整void AdjuestDown(int index){int size = heap.size();while (index * 2 + 1 < size){int largest = index;int leftChild = index * 2 + 1;int rightChild = index * 2 + 2;//找到是三个节点的最大值if (leftChild < size && heap[leftChild]>heap[largest]){largest = leftChild;}if (rightChild<size && heap[rightChild]>heap[largest]){largest = rightChild;}//如果最大节点不是当前节点，则交换最大值，然后继续向下调整if (largest != index){std::swap(heap[index], heap[largest]);index = largest;}else{break;}}}

时间复杂度分析

堆操作相关时间复杂度分析

插入操作（Insert）

时间复杂度：O(log n)
插入一个新元素时，首先将其添加到堆的末尾，然后通过向上调整（heapify up）使堆恢复最大堆或最小堆的性质。向上调整的过程最多需要经过堆的高度层，而堆的高度是 O(logn)O(log n)O(logn)。

删除堆顶元素（Extract Max / Extract Min）

时间复杂度：O(log n)
删除堆顶元素（即最大堆中的最大元素或最小堆中的最小元素）时，将堆的最后一个元素移动到堆顶，然后通过向下调整（heapify down）使堆恢复堆的性质。向下调整的过程最多需要经过堆的高度层，时间复杂度也是 O(logn)O(log n)O(logn)。

获取堆顶元素（Get Max / Get Min）

时间复杂度：O(1)
获取堆顶元素不需要进行任何调整操作，只需要返回堆数组的第一个元素即可，因此时间复杂度是 O(1)O(1)O(1)。

建堆操作（Build Heap）

时间复杂度：O(n)
从一个无序数组构建一个堆可以通过自底向上的方法进行，即从最后一个非叶子节点开始向下调整（heapify down）。这种方法的总时间复杂度是 O(n)O(n)O(n)，而不是 O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)，因为每个节点向下调整的平均次数比堆的高度要少。

堆排序（Heap Sort）

时间复杂度：O(n \log n)
堆排序包括两个主要步骤：首先将无序数组构建成一个堆（时间复杂度 O(n)O(n)O(n)），然后重复地提取堆顶元素并调整堆（每次提取和调整的时间复杂度是 O(logn)O(log n)O(logn)）。因此，总的时间复杂度是 O(n)+O(nlog⁡n)=O(nlog⁡n)O(n) + O(n \log n) = O(n \log n)O(n)+O(nlogn)=O(nlogn)。

堆排序

思路总结（以大堆为例分析）

构建大堆，将数组转化成为堆
交换堆顶元素与末尾元素，同时缩小堆的范围，对堆顶元素进行向下调整，直到数组排序完成

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>using namespace std;void AdjustDown(vector<int>& arr, int n, int i)
{int largest = i;int left = 2 * i + 1, right = 2 * i + 2;if (left<n && arr[left]>arr[largest]) largest = left;if (right<n && arr[right]>arr[largest]) largest = right;if (largest != i){swap(arr[i], arr[largest]);AdjustDown(arr, n, largest);}
}void heapSort(vector<int>& arr)
{int n = arr.size();//构建大堆（找父节点然后调整）for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--){AdjustDown(arr, n, i);}//交换头尾元素，然后再次向下调整for (int i = n - 1; i > 0; i--){swap(arr[0], arr[i]);AdjustDown(arr, i, 0);}
}int main()
{std::vector<int> arr{ 12,89,5,4,66,82,56,99,1 };cout << "begin arr:";for (auto& ch : arr) {cout << ch << " ";}cout << endl;heapSort(arr);cout << "after sort :";for (auto& ch : arr){cout << ch << " ";}
}

堆的简单实现

插入与删除实现

插入：末尾插入新元素，然后向上调整
删除：删除头部元素，尾部元素填充头部元素，然后向下调整
下述代码（插入、删除、向上调整、向下调整整体实现）

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>class MaxHeap
{
private:std::vector<int> heap;//向上调整void AdjuestUp(int index){while (index > 0 && heap[index] > heap[(index - 1) / 2]){std::swap(heap[index], heap[(index - 1) / 2]);index = (index - 1) / 2;}}//向下调整void AdjuestDown(int index){int size = heap.size();while (index * 2 + 1 < size){int largest = index;int leftChild = index * 2 + 1;int rightChild = index * 2 + 2;//找到是三个节点的最大值if (leftChild < size && heap[leftChild]>heap[largest]){largest = leftChild;}if (rightChild<size && heap[rightChild]>heap[largest]){largest = rightChild;}//如果最大节点不是当前节点，则交换最大值，然后继续向下调整if (largest != index){std::swap(heap[index], heap[largest]);index = largest;}else{break;}}}

TopK问题

实现思路总结

问题回顾：TopK就是从一组数据中找出前K大或者前K小的元素
思路（通过小根堆解决）
维护一个大小为K的小根堆
遍历全部的数据，将每个元素与栈顶元素（也就是最小值）比较
如果当前元素大于栈顶元素，则替换掉栈顶元素，然后重新调整堆
否则的话就继续遍历下一个元素
事例（前K大的元素，因为小根堆的首元素永远都是最小的元素）

#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>using namespace std;vector<int> topKElements(vector<int>& data, int k)
{if (k <= 0) return {};//利用比较器实现小堆priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minheap;//遍历data中的全部属于，没添加满就继续添加，添加满了就比较堆顶元素for (int num : data){if (minheap.size() < k){minheap.push(num);}else if (num > minheap.top()){minheap.pop();minheap.push(num);}}vector<int>ret;while (!minheap.empty()){ret.push_back(minheap.top());minheap.pop();}return ret;
}int main() {vector<int> data = { 3, 1, 5, 12, 2, 11, 10, 7, 6 };int k = 3;vector<int> result = topKElements(data, k);cout << "Top " << k << " elements: ";for (int num : result) {cout << num << " ";}cout << endl;return 0;
}