数学建模笔记（2）：Topsis分析法
一.评价类问题的几个关键词
1.指标
评价一个方案或者对象我们需要有评价指标，即从哪几个方面进行评价。比如评价一个人在保研上的竞争力，我们可以从绩点，课外竞赛，科研成果，学生工作，志愿服务等几个方面来对他进行评价。这些就是评价指标。
2.权重
有了指标之后还不够，我们要分清楚哪些指标是最重要的，哪些指标次要一些，这就涉及到权重的分配，比如上面的例子，我们可以给到绩点分配50%，科研15%，竞赛10%诸如此类，这就是权重。权重的分配又可以分为主观分配和客观分配。主观分配就是通过专家判定或者根据常识等方法。客观的分配方法有熵权法等。
3.打分
打分就是对评价对象在指标上的评分，打分的过程可以找专家来打分，或者对指标进行拆分为更小的指标来进行层次分析。
4.榜样
这里是比喻，因为有时候我们评价方案也可以参考过去的榜样（表现最优的对象或者方案），看现有的方案和这个榜样之间的相似度或者距离，从而来对现有的方案进行评估。
比如，可以找往年的保研的人的前几名的绩点和其他成绩，作为一个标准来比较。这次介绍的Topsis法和后面要说的灰色关联分析都是遵循这种找标准，作比较的方式来对方案进行评估的。
二.Topsis分析法简介
Topsis分析法的核心思想是上面所说的方案和榜样之间的“距离”。我们选取各项指标中的最优和最差的，把指标作为评价空间的各个维度（类似矩阵空间，可以理解为x轴y轴），找到这个空间中的最优点和最劣点。
然后计算方案中的点到则两个“榜样”的距离，根据此来评价。
我们期待的最好方案，应当是与最优点最近，与最劣点最远的那个点。
三.Topsis法的具体实现步骤
1.正向化处理的背景介绍
首先我们要对指标矩阵进行正向化处理。先介绍一下背景。
我们知道一个指标，并不是说都是越大越好。比如在评价一个人的整体外在形象的时候，身高和体重，不是越高越好，越重越好，越轻越好，而是在一个合理的区间范围内最好。这种指标叫区间型指标。
还有的指标是越小越好。比如评估空气质量，空气质量指数，污染物浓度，肯定是越低越好。这种指标叫做极小型指标。
还有的指标是存在一个准确的中间值，在这个中间值的时候是最好的。这种例子不好找，大家可以想一想ph值=7是中性这种例子辅助理解。这种指标叫做中间性指标。
因此，我们希望为了方便分析，所有指标都变成越大越好，这就是正向化的概念。
下面是一个表的总结。
2.针对不同类型指标的正向化方法
针对上面所说的三种非极大型指标，我们有不同的公式来对他们进行正向化。
下面是正向化的公式汇总。
3.指标矩阵的标准化处理
标准化的目的基本就是消除量纲的影响。比如身高以厘米为单位可能都是160-190，而体重一般都不会超过100kg，因此量纲对分析还是会影响的。
在这里我们采用的方法是：针对每一个指标，我们将所有评价对象在该指标上的值的平方和的平方根作为分母，分子就是每个单独的值，这样就可以完成标准化了。
具体的公式图示如下。
4.计算最终得分
我们在以上操作做完以后，从矩阵的每一列（这里的一列是一个指标，一行是一个需要进行评价的对象）中选择出最大和最小的，作为最优点和最劣点的坐标值。
距离的计算方法就是几何距离，即：对应分量差值的平方和的平方根，公式在下图。
然后最终结果的计算公式要用到到最优点和最劣点的两个距离，公式见下图。
最后按照分数排序即可得到最终的结果。
Ok，以上就是我的Topsis学习的笔记，希望对正在备战数模国赛的大家有所帮助！如果觉得有用留下赞和收藏再走吧~