抽象代数精解【13】

有限域上的椭圆曲线

有限域

有限域（Finite Field），也称为伽罗瓦域（Galois Field，简称
GF），是一个包含有限个元素的域。在有限域中，所有的算术运算（加法、减法、乘法和除法）都满足域的基本性质，同时结果也在这个有限集合内。

有限域的基本性质

1. 域的定义：

   • 域是一个非空集合，其中定义了两个运算（通常是加法和乘法），并且满足如下性质：
     1. 交换律：$a+b=b+a$ 和$a\cdot b=b\cdot a$
     2. 结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$ 和 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
     3. 分配律：$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
     4. 存在加法单位元和乘法单位元：存在元素 $0$ 使得 $a+0=a$，存在元素 $1$使得 $a\cdot 1=a$
     5. 存在加法和乘法逆元：对于每个元素$a$，存在元素$-a$使得 $a+(-a)=0$；对于每个非零元素 $a$，存在元素$a^{-1}$使得$a\cdot a^{-1}=1$

2. 有限性：

   • 有限域的元素数量是有限的，且这个数量通常记为 (q)，即域的大小为 (q)。
   • 由于运算结果仍在这个有限集合内，所有算术运算在有限域中必须进行模运算。

3. 阶：

   • 有限域的阶 $q$是某个素数 $p$ 的幂次，即 $q=p^n$，其中$p$是素数，$n$是正整数。
   • 当 $n=1$时，有限域成为素域，记作$GF(p)$。
   • 当 $n>1$时，有限域记作$GF(p^n)$，这是扩域。

常见的有限域

1. 素域$GF(p)$：

   • 当 $n=1$时，有限域 $GF(p)$的元素就是整数集 { 0 , 1 , 2 , … , p − 1 } \{0, 1, 2, \dots, p-1\} {0,1,2,…,p−1}，并且加法和乘法在素数 $p$ 下进行模$p$ 运算。
   • 例如，$GF(5)$ 表示的是元素集 { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } \{0, 1, 2, 3, 4\} {0,1,2,3,4}，运算规则遵循模 $5$ 运算。

2. 扩域 $GF(p^n)$：

   • 当 $n>1$ 时，有限域$GF(p^n)$ 可以表示为多项式环中的剩余类。
   • 例如，$GF(2^3)$表示的有限域有 8 个元素，常用作二元多项式模某个不可约多项式进行运算。

有限域的应用

1. 编码理论：

   • 在编码理论中，有限域用于构造误差校正码，如Reed-Solomon码和BCH码，这些码广泛应用于数据传输和存储中。

2. 密码学：

   • 有限域广泛应用于公钥密码学，例如椭圆曲线密码学（ECC）和有限域上的离散对数问题。

3. 组合数学：

   • 有限域在组合设计、有限几何和其它离散数学领域中起着重要作用。

4. 代数几何：

   • 在代数几何中，有限域常用于研究定义在有限域上的代数曲线，比如在椭圆曲线密码学中。

总结

有限域是数学中重要的代数结构，它在有限集合中定义了完整的算术运算体系。有限域不仅是纯数学的研究对象，还在密码学、编码理论和计算机科学等领域有着广泛的应用。

仿射平面曲线

• $$\begin{gathered} 设p为一素数，n为正整数，q=p^n， \\ 而{\mathbb{F}}_q是q个元素的有限域，其代数闭包为{\bar{\mathbb{F}}}_q, \\ {\bar{\mathbb{F}}}_q上的Weierstrass方程如下： \end{gathered}$$
  $$\begin{gathered} y^2+a_{1}xy+a_{3}xy=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6,a_i\in F_q \\ 决定仿射平面{\mathbb{A}}^2({\bar{F}}_q)上的一条曲线，加上无穷远点， \\ 得到射影平面{\mathbb{P}}^2(\overline{{\mathbb{F}}_q})上的一条曲线E， \\ 若曲线非奇异，则E称为一条椭圆曲线。 \end{gathered}$$

在代数几何中，仿射平面曲线的Weierstrass方程是一种特殊形式的方程，主要用于描述特定类型的代数曲线，尤其是椭圆曲线。仿射平面曲线通常是在二维仿射空间（即${\mathbb{A}}^2$）中的曲线，而Weierstrass方程则提供了描述这些曲线的一种简洁形式。

仿射平面曲线的Weierstrass方程

在仿射坐标系下，仿射平面曲线的Weierstrass方程通常表示为：

$y^2=x^3+ax+b$

其中，$x$和$y$是平面上的仿射坐标，$a$ 和$b$是定义在某个域上的常数。

特点和解释

1. 简化形式：

   • 这是Weierstrass方程的标准简化形式，没有包含$x^2$ 项。
   • 它描述了一类非常重要的代数曲线，即椭圆曲线。

2. 域的选择：

   • 常数 $a$和$b$可以是定义在任意域上的元素，常见的域包括有理数域$\mathbb{Q}$、实数域 $\mathbb{R}$、复数域$\mathbb{C}$ 和有限域 ${\mathbb{F}}_q$等。

3. 光滑性条件：

   • 为了保证曲线是光滑的（没有奇点），需要满足判别式 $\Delta \ne 0$，即
     $$\Delta =-16(4a^3+27b^2)\ne 0$$
   • 如果$\Delta =0$，曲线会有奇点，从而不再是一个椭圆曲线。

应用

1. 椭圆曲线：

   • 这种形式的Weierstrass方程通常用来描述椭圆曲线，这是一种光滑、非奇异的代数曲线，具有丰富的数学结构和应用，尤其是在数论和密码学中。

2. 代数几何：

   • 在代数几何中，仿射平面曲线的Weierstrass方程用于研究曲线的几何性质，例如它的交点、奇点、以及它在代数簇中的嵌入。

仿射与射影

值得注意的是，Weierstrass方程可以在仿射平面上描述椭圆曲线的局部性质，但在研究整体性质时，通常将曲线嵌入到射影平面中。射影平面的Weierstrass方程是仿射平面形式的推广，可以描述无穷远处的行为。

总结

仿射平面曲线的Weierstrass方程是一种简洁而强大的工具，用于描述二维仿射空间中的椭圆曲线。这种方程形式不仅在数学研究中具有重要地位，也在密码学等实际应用中扮演着关键角色。

Weierstrass方程概述

Weierstrass方程（通常称为Weierstrass椭圆曲线方程）是代数几何和数论中的一个重要概念，它描述了一类特殊的平面曲线。在复数域上，Weierstrass方程的一般形式为：

$$y^2=4x^3-g_{2}x-g_3$$

其中，$g_2$ 和 $g_3$ 是复数域中的常数，且满足一定的判别式条件以确保曲线是非奇异的（即没有自交点或尖点）。然而，在更一般的上下文中，Weierstrass方程也可以表示为：

$$y^2=x^3+ax+b$$

其中，$a$ 和 $b$ 是任意复数（或更具体地，某个代数数域中的元素），并且同样需要满足一定的判别式条件来确保曲线的非奇异性。

定义

Weierstrass方程（更常见的是Weierstrass椭圆曲线方程）的定义是一个特定的二次方程，它描述了平面上的一个曲线族。这些曲线在代数几何和数论中非常重要，因为它们具有许多独特的性质和结构。

在复数域上，Weierstrass椭圆曲线方程的一般形式可以表示为：

$$y^2=4x^3-g_{2}x-g_3$$

或者更常见地，通过适当的线性变换（即平移和缩放x轴和y轴），可以将其转化为更标准的形式：

$$y^2=x^3+ax+b$$

其中，$a$ 和 $b$ 是复数（或更一般地，某个代数数域中的元素），并且需要满足一定的条件（即判别式 $\Delta \ne 0$）以确保曲线是非奇异的（即没有自交点、尖点或垂直切线）。

非奇异性的条件是通过判别式 $\Delta$ 来保证的，对于形式 $y^2=x^3+ax+b$
的Weierstrass方程，判别式定义为：

$$\Delta =-16(4a^3+27b^2)$$

如果 $\Delta \ne 0$，则曲线是非奇异的。

此外，Weierstrass椭圆曲线还具有以下重要性质：

1. 群结构：非奇异的Weierstrass椭圆曲线上的点（包括一个称为无穷远点的特殊点）可以构成一个阿贝尔群。这个群结构是通过所谓的“弦切法”或“椭圆曲线加法”来定义的，它允许我们在曲线上的点之间进行加法和逆元运算。

2. 模形式：Weierstrass方程与模形式有深刻的联系，特别是在研究椭圆曲线的同余和分类时。模形式是一种在复平面上具有特定变换性质的复函数，它们与椭圆曲线的算术性质密切相关。

3. 密码学应用：由于椭圆曲线上的点构成的群结构具有高效的运算和高的安全性，Weierstrass椭圆曲线在密码学中有重要应用，如椭圆曲线密码学（ECC）。ECC是一种公钥加密技术，它使用椭圆曲线上的点来执行密钥交换和数字签名等操作。

综上所述，Weierstrass方程（特别是Weierstrass椭圆曲线方程）是描述一类具有特殊性质和结构的平面曲线的数学方程。

判别式

对于形式 $y^2=x^3+ax+b$ 的Weierstrass方程，其判别式 $\Delta$ 定义为：

$$\Delta =-16(4a^3+27b^2)$$

如果 $\Delta \ne 0$，则曲线是非奇异的。

性质

Weierstrass椭圆曲线具有许多有趣的性质，包括但不限于：

1. 群结构：非奇异的Weierstrass椭圆曲线上的点（包括无穷远点）可以构成一个阿贝尔群，其运算称为“弦切法”或“椭圆曲线加法”。

2. 模形式：Weierstrass方程与模形式有深刻的联系，特别是在研究椭圆曲线的同余和分类时。

3. 密码学应用：由于椭圆曲线上的点构成的群结构，Weierstrass椭圆曲线在密码学中有重要应用，如椭圆曲线密码学（ECC）。

4. 代数几何：Weierstrass方程是代数几何中研究曲线和曲面性质的重要工具。

示例

考虑一个简单的Weierstrass方程：

$$y^2=x^3-x$$

这里，$a=-1$，$b=0$，判别式 $\Delta =-16((-4)+0)=64\ne 0$，因此该曲线是非奇异的。

结论

Weierstrass方程是数学中一个非常强大且多用途的工具，它在代数几何、数论、密码学等多个领域都有广泛的应用。

Weierstrass方程的定义

Weierstrass方程是代数几何中描述椭圆曲线的一种标准形式。椭圆曲线在数学上是一个光滑的、非奇异的代数曲线，具有丰富的结构和应用，比如在数论、密码学等领域。

Weierstrass方程的定义

Weierstrass方程描述了一个椭圆曲线的定义方程，通常形式如下：

$$y^2=x^3+ax+b$$

其中，(a$ 和$b$ 是定义在某个域上的常数，通常是有理数、实数、复数，或是有限域中的元素。

方程形式的解释

1. 方程的左侧：$y^2 $ 表示的是$y$ 的平方。

2. 方程的右侧：右侧是一个三次多项式，形式为$x^3+ax+b$。注意这里没有$x^2$ 项，这是Weierstrass形式的一大特征。

椭圆曲线的判别式

为了确保这个方程描述的是一个椭圆曲线（即光滑的曲线），常数$a$ 和$b$ 需要满足一个条件，即判别式$\Delta$ 不等于零：

$$\Delta =-16(4a^3+27b^2)\ne 0$$

如果$\Delta =0$，曲线会有奇点，因此不再是一个椭圆曲线。

Weierstrass方程的应用

• 椭圆曲线的结构：Weierstrass方程使得我们能够明确描述椭圆曲线的几何结构，进而研究其拓扑性质和代数性质。

• 数论：在数论中，Weierstrass方程用于研究有理数点的性质，尤其是在有限域上，椭圆曲线的重要性尤为显著。

• 密码学：在现代密码学中，椭圆曲线密码学（ECC）广泛应用于数据加密，而这些椭圆曲线通常也通过Weierstrass方程进行描述。

广义Weierstrass方程

在某些情况下，Weierstrass方程也可以写成更一般的形式：

$$y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$$

其中$a_1,a_2,a_3,a_4,a_6$
是域中的元素。通过一系列的坐标变换，这个方程通常可以化简为标准的Weierstrass形式$y^2=x^3+ax+b$。

小结

Weierstrass方程是代数几何中描述椭圆曲线的一个重要工具，通过研究这一方程，我们可以深入理解椭圆曲线的代数和几何性质。

参考文献

1.文心一言，chatgpt
2.《近世代数》
3.《椭圆与超椭圆曲线公钥密码的理论与实现》