代码随想录训练营 Day36打卡 动态规划 part04 1049. 最后一块石头的重量II 494. 目标和 474. 一和零

代码随想录训练营 Day36打卡 动态规划 part04

一、力扣1049. 最后一块石头的重量II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
    如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
    如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
示例：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。

因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。

而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。

在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

代码实现

class Solution:def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:# 初始化 dp 数组，大小为 15001，用于存储在每个容量下可以达到的最大重量dp = [0] * 15001# 计算所有石头的总重量total_sum = sum(stones)# 目标是找到接近总重量一半的最大重量target = total_sum // 2# 遍历每块石头for stone in stones:# 01背包问题，从后向前遍历背包容量，保证每块石头只被使用一次for j in range(target, stone - 1, -1):# 状态转移方程：选择当前石头或不选择当前石头dp[j] = max(dp[j], dp[j - stone] + stone)# 返回最终结果：总重量减去两倍的最接近总重量一半的重量return total_sum - dp[target] - dp[target]

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二、力扣494. 目标和

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。
向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。
示例：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

本题要如何使表达式结果为target，

既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。

left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left

公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

dp[j] += dp[j - nums[i]]

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3

bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下：

我们的目标是通过选择子集来实现和为 bagSize。dp[j] 表示达到和为 j 的不同子集数目。以下是动态规划的过程：

第一个元素 nums[0] = 1：
从右往左更新 dp 数组，以避免重复使用同一元素。
初始状态: dp = [1, 0, 0, 0, 0]
处理 dp[j] 从 j = 4 到 j = 1：
dp[4] = dp[4] + dp[3] => dp[4] = 0 + 0 = 0
dp[3] = dp[3] + dp[2] => dp[3] = 0 + 0 = 0
dp[2] = dp[2] + dp[1] => dp[2] = 0 + 0 = 0
dp[1] = dp[1] + dp[0] => dp[1] = 0 + 1 = 1
更新后的 dp 数组为: [1, 1, 0, 0, 0]

第二个元素 nums[1] = 1：
处理 dp[j] 从 j = 4 到 j = 1：
dp[4] = dp[4] + dp[3] => dp[4] = 0 + 0 = 0
dp[3] = dp[3] + dp[2] => dp[3] = 0 + 0 = 0
dp[2] = dp[2] + dp[1] => dp[2] = 0 + 1 = 1
dp[1] = dp[1] + dp[0] => dp[1] = 1 + 1 = 2
更新后的 dp 数组为: [1, 2, 1, 0, 0]

第三个元素 nums[2] = 1：
处理 dp[j] 从 j = 4 到 j = 1：
dp[4] = dp[4] + dp[3] => dp[4] = 0 + 0 = 0
dp[3] = dp[3] + dp[2] => dp[3] = 0 + 1 = 1
dp[2] = dp[2] + dp[1] => dp[2] = 1 + 2 = 3
dp[1] = dp[1] + dp[0] => dp[1] = 2 + 1 = 3
更新后的 dp 数组为: [1, 3, 3, 1, 0]

第四个元素 nums[3] = 1：
处理 dp[j] 从 j = 4 到 j = 1：
dp[4] = dp[4] + dp[3] => dp[4] = 0 + 1 = 1
dp[3] = dp[3] + dp[2] => dp[3] = 1 + 3 = 4
dp[2] = dp[2] + dp[1] => dp[2] = 3 + 3 = 6
dp[1] = dp[1] + dp[0] => dp[1] = 3 + 1 = 4
更新后的 dp 数组为: [1, 4, 6, 4, 1]

第五个元素 nums[4] = 1：
处理 dp[j] 从 j = 4 到 j = 1：
dp[4] = dp[4] + dp[3] => dp[4] = 1 + 4 = 5
dp[3] = dp[3] + dp[2] => dp[3] = 4 + 6 = 10
dp[2] = dp[2] + dp[1] => dp[2] = 6 + 4 = 10
dp[1] = dp[1] + dp[0] => dp[1] = 4 + 1 = 5
更新后的 dp 数组为: [1, 5, 10, 10, 5]

最终结果：
dp[bagSize] = dp[4] = 5，表示有 5 种方法可以通过给 nums 数组中的元素加上 + 或 - 来使得总和为目标值 S = 3。

代码实现

class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:# 首先计算数组 nums 的总和 total_sumtotal_sum = sum(nums)# 如果 target 的绝对值大于 total_sum，那么无法达到目标值，返回 0if abs(target) > total_sum:return 0# 如果 target + total_sum 是奇数，也无法通过任何组合得到目标值，因为 left = (target + sum) / 2 必须为整数if (target + total_sum) % 2 == 1:return 0# 计算 target_sum，即我们需要在 nums 中找到的组合和target_sum = (target + total_sum) // 2# 创建一个大小为 target_sum + 1 的动态规划数组 dp，初始化为 0# dp[j] 表示填满容量为 j 的包的方案数dp = [0] * (target_sum + 1)# 初始化 dp[0] 为 1，因为当目标和为 0 时，只有一种方案，即不选择任何元素dp[0] = 1# 遍历 nums 中的每一个数字 numfor num in nums:# 从后向前遍历 dp 数组，避免重复计算# 因为对于一个新的 num，我们要考虑它对所有可能的 dp[j] 的影响for j in range(target_sum, num - 1, -1):# 状态转移方程：dp[j] 表示容量为 j 的包的方案数# dp[j] += dp[j - num] 意味着我们可以通过将 num 加入到容量为 j-num 的方案中，得到一个新的容量为 j 的方案dp[j] += dp[j - num]# 返回 dp[target_sum]，即凑成目标和的所有方案数return dp[target_sum]

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三、力扣474. 一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
示例：
输入：strs = [“10”, “0001”, “111001”, “1”, “0”], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {“10”,“0001”,“1”,“0”} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {“0001”,“1”} 和 {“10”,“1”,“0”} 。{“111001”} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！
而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。 这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

dp[i][j] 就可以是 dp [ i - zeroNum ][ j - oneNum ] + 1。

然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

所以递推公式：dp[i][j] = max( dp [ i ][ j ] , dp [ i - zeroNum ] [ j - oneNum ] + 1);

以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例

最后dp数组的状态如下所示：

代码实现

class Solution:def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:# 创建一个大小为 (m + 1) x (n + 1) 的二维动态规划数组，初始化为0# dp[i][j] 表示最多有 i 个 0 和 j 个 1 的最大子集长度dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]# 遍历每一个字符串，视为一个物品for s in strs:# 统计当前字符串中 '0' 和 '1' 的数量zeroNum = s.count('0')  # 计算字符串中 '0' 的个数oneNum = len(s) - zeroNum  # 计算字符串中 '1' 的个数# 从背包容量的最大值开始遍历，确保每个物品只计算一次# 遍历背包的容量 i 表示最多能容纳 i 个 0for i in range(m, zeroNum - 1, -1):# 遍历背包的容量 j 表示最多能容纳 j 个 1for j in range(n, oneNum - 1, -1):# 状态转移方程：# 当前 dp[i][j] 可以通过 dp[i-zeroNum][j-oneNum] + 1 得到# 表示使用当前物品 s 后的最大子集长度dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1)# dp[m][n] 表示最多有 m 个 0 和 n 个 1 的最大子集长度return dp[m][n]

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