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经典非对称加密算法：RSA算法原理、实现详解（C++、Java）

news 来源：原创 2024/5/18 21:43:16

- 零、写在最前
- - 参数说明
- 一、RSA算法原理介绍
- 二、实验步骤（含实验方法与关键代码)
- - - 1. 创建项目
    - 2. 设计加密、解密的总体流程
    - 3. 设计素数类PrimeNum，包括两个静态方法
    - 4. 设计解密器类Decryption。
    - 5. 设计加密器类Encryption
- 三、总结
四、代码下载

零、写在最前

本文利用C++或Java实现RSA算法，使用面向对象的方法，分别实现文件的加密和解密方法。

加密方法格式为：
void encrypt（String file,String destFile）{…}

解密方法格式为：
void decode（ String file,String destFile）{…}

密钥生成方法格式为：
String genKey(int length) {…}

参数说明

file 待加密(解密)的文件路径

destFile 加密(解密)后文件的存放路径

length 密钥的二进制长度

我基于Eclipse Java开发环境，通过编程实现RSA算法。通过本实验，可以理解非对称密码算法和公钥密码体制的基本原理，掌握RSA算法的计算过程和安全性约束。

一、RSA算法原理介绍

RSA加密算法是一种非对称加密算法，是一种分组密码体制算法。对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。推导过程涉及较多数学定理，在这里仅关注算法的具体实现。该算法的实现过程为：

取两个随机大素数p和q（保密）。
计算公开的模数n=pq（公开）。
计算秘密的欧拉函数fi（n）=（p-1）（q-1）（保密），两个素数p和q不再需要，应该丢弃，不要让任何人知道。
随机选取整数e，满足gcd（e, fi（n））=1（公开e，加密密钥）。计算d，满足de≡1（mod fi（n））（保密d，解密密钥，陷门信息）。
将明文x（其值的范围在0到n-1之间）按模为n自乘e次幂以完成加密操作，从而产生密文y（其值也在0到r-1范围内）。
将密文y按模为n自乘d次幂，完成解密操作。

二、实验步骤（含实验方法与关键代码)

1. 创建项目

在Eclipse Java中新建一个名为“RsaAlogrithm”的项目，基于面向对象的程序设计思想，在源程序src目录下创建Main.java。

2. 设计加密、解密的总体流程

RSA算法实现了数字的加密与解密过程，为了实现对一般字符的加密，我们设计三个文件，并作如下处理：

(1) 明文.txt
该明文应不受限制，可以是任意一篇文献，可以包括中文、字母、各类标点符号、数字等字符。我们取其中的每一个字符ch，将int(ch)，即该字符对应的ASCII码作为明文输入x。

(2) 密文.txt
我们可以得到明文数字x对应的密文数字y。考虑到y的范围远超ASCII码可以表示的范围，我们在密文文件中直接存储数字y。

(3) 密文解密.txt
读取密文文件，得到密文数字y，通过解密方法得到明文数字x。但x并不是原本的明文文件中的字符，而是明文字符对应的ASCII码。因此，我们需要将解密得到的x转换为其在ASCII表中对应的字符，即char(x)。

将第三个文件与第一个文件进行比对，即可检验程序设计的正确性与健壮性。经过如上处理，程序可以对任一篇明文进行加密与解密，对明文中的字母、数字、标点等均起作用。基于该思想，我们开始进行类的设计。

3. 设计素数类PrimeNum，包括两个静态方法

（1) 判断一个数是否为素数

	private static boolean isPrimeNum(long num) {
		if(num<2) return false;
		for(int i=2; i<=num/2; i++)
			if(num%i==0)
				return false;
		return true;
	}

（2) 随机生成素数

	public static long getRandomPrimeNum() {
		long num=0;
		while(true) {
			num=Math.abs(new Random().nextLong());
			if(isPrimeNum(num))
				return num;
		}	
	}

4. 设计解密器类Decryption。

（1) 私有数据成员

	private long fi,d,p,q;

各变量的具体含义见上面介绍的RSA原理，
其中的p与q将在使用后销毁。

（2) 公有数据成员

	public long n=0,e;

各变量的具体含义见上面介绍的RSA原理。

（3) 求最大公约数函数：基于欧几里得算法，生成密钥时调用

	public long gcd(long a,long b) {
        if(b==0)
            return a;
        else
            return gcd(b,a%b);
	}

（4) 密钥生成函数：生成指定长度的密钥

	public void genKey(int length) {
		while(n==0||Long.toBinaryString(n).length()!=length) {
			p=PrimeNum.getRandomPrimeNum();
			q=PrimeNum.getRandomPrimeNum();
			n=p*q;
			if(Long.toBinaryString(n).length()!=length)
				continue;
			fi=(p-1)*(q-1);
			e=Math.abs(new Random().nextLong()+1)%fi;
			while(gcd(e,fi)!=1) {
				e=Math.abs(new Random().nextLong()+1)%fi;
			}		
			d=euclid(e,fi);
		}
		System.out.println("取随机素数p="+p+",q="+q+",生成"+length+"位密钥");
		p=0;
		q=0;
	}

下面有几个关键问题：

（a) 如何保证密钥的二进制长度为length？
为保证密钥长度为length，每生成一对大素数p、q，若n=pq的长度不符合要求，则循环生成p与q，直至n的二进制长度为length。最坏情况下，该算法的时间复杂度为O(length)；最优情况下，该算法的时间复杂度为O(1)。

（b) 如何随机获取大素数？
调用PrimeNum.getRandomPrimeNum()方法，该方法将返回一个长度不超过32位的随机素数。在length（取32）的制约下，p、q的值较大，达到预期。

（c) 如何求解同余方程 XY % M = 1？
在求解d时，调用euclid(e,fi)。euclid()方法基于欧几里得拓展算法实现，核心代码为：

    long a=e,b=fi;
	long x=0,y=1,x0=1,y0=0,q=0,t=0;
	while(b!=0) {
	    q=a/b; t=a%b; a=b; b=t;
		t=x; x=x0-q*x; x0=t;
		t=y; y=y0-q*y; y0=t;
	}
	if(x0<0) x0+=fi;
	return x0;

（f) 如何模拟p、q的丢弃？
将p、q清零，实现两个大素数的销毁。

（5) 解密方法：将密文翻译成明文

	BigInteger yy=new BigInteger(line);
	BigInteger rs=new BigInteger("1");
	BigInteger nn=new BigInteger(n+"");
	long dd=d;
	while(dd>0) {
		if(dd%2==1) {
			rs=rs.multiply(yy);
			rs=rs.remainder(nn);
		}
		dd=dd/2;
		yy=yy.multiply(yy);
		yy=yy.remainder(nn);
	}
	out.write((char)rs.intValue());
	out.flush();

下面有几个关键问题：

（a) 如何实现文件的读写？
创建文件读写对象BufferedReader br与BufferedWriter out。String line=br.readLine()实现file文件按行读入。

（b) 如何处理大数运算
在这里我选择一种较为简单的做法：BigInteger大数类。该类在理论上可以处理任意长度的数值。核心代码为：

BigInteger yy=new BigInteger(line);
BigInteger rs=new BigInteger("1");
…
rs=rs.multiply(yy);

BigInteger运算速度慢于Integer，那么如何解决这个问题呢？这也就是下一个问题。

（c) 如何快速进行模幂运算
对于幂模运算 A**B%N，若按照一般算法，首先A**B将执行B次运算，时间复杂度为O(B)，运算结果将是一个非常大的数，再把运算结果取模N，无论是时间复杂度还是空间复杂度均不理想。因此，使用快速幂算法、蒙哥马利算法，实现快速进行模幂运算。核心代码为：

	while(dd>0) {
		if(dd%2==1) {
			rs=rs.multiply(yy);
			rs=rs.remainder(nn);
		}
		dd=dd/2;
		yy=yy.multiply(yy);
		yy=yy.remainder(nn);
	}

实验结果表明，对于32位长度密钥，该算法可以在较短时间内得到预期结果。

5. 设计加密器类Encryption

(1) 公有数据成员

public long n,e;

即公钥，由加密器类生成后公开。

(2) 设计加密方法
加密方法的具体实现过程与解密方法类似。核心代码为：

for(int i=0; i<line.length(); i++) {
	char ch=line.charAt(i);
	long x=(int) ch, ee=e;
	BigInteger rs=new BigInteger("1");
	BigInteger nn=new BigInteger(n+"");
	BigInteger xx=new BigInteger(x+"");
	while(ee>0) {
		if(ee%2==1) {
			rs=rs.multiply(xx);
			rs=rs.remainder(nn);
		}
		ee/=2;
		xx=xx.multiply(xx);
		xx=xx.remainder(nn);
	}
	out.write(rs.toString()+"\n");
	out.flush();
}