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极限基础：变化率在manim中的实现

news 来源：原创 2024/9/20 7:59:04

一，变化率的介绍

这里我们要考虑一个函数 $f(x)$ ，它表示一些量，其变化为x不同。例如，也许f(x)表示x纪要。或者 $f(x)$ 是汽车行驶的距离x小时。在这两个例子中，我们使用了x来表示时间。答案是肯定的x不必表示时间，但它可以生成易于可视化的示例。

我们在这里要做的是确定多快f(x)在某个时候发生变化，比如x=a.这称为瞬时变化率，有时简称为瞬时变化率f(x)在x=a.

与切线问题一样，此时我们能做的就是估计变化率。那么，让我们继续上面的例子并考虑一下f(x)作为随时间变化的事物，以及x是时间测量。再x不一定非得代表时间，但它会让解释变得更容易一些。虽然我们现在无法计算瞬时变化率，但我们可以找到平均变化率。

要计算f(x)在x=a我们需要做的就是选择另一个点，比如x，则平均变化率将为

然后，要估计x=a,我们需要做的就是选择x越来越近x=a,（不要忘记在两侧选择它们x=a）.然后我们可以从中估计瞬时变化率。

1.让我们看一个例子。

假设气球中的空气量t小时数由下式给出

$V\left( t \right) = {t^3} - 6{t^2} + 35$

估计 5 小时后体积的瞬时变化率。

解题思路：

我们需要做的第一件事是获得交易量平均变化率的公式。在本例中，这是

$A.R.C. = \frac{{V\left( t \right) - V\left( 5 \right)}}{{t - 5}} = \frac{{{t^3} - 6{t^2} + 35 - 10}}{{t - 5}} = \frac{{{t^3} - 6{t^2} + 25}}{{t - 5}}$

要估计t=5我们只需要选择 t 越来越近t=5.以下是tt以及这些值的平均变化率

因此，从这个表格中可以看出，平均变化率接近 15，因此我们可以估计此时的瞬时变化率是 15。

接下来我们通过manim实现上面的例子

2.manim实现

from manim import *  class RatesofChange11(Scene):  def construct(self):  # 创建坐标系  axes = Axes(  x_range=[3, 7.5, 1],  y_range=[6, 25, 3],   y_length=6,  x_length=10,  axis_config={"color": BLUE},  ).add_coordinates()  # 定义函数  def func(x):  return x**3 - 6*x**2 + 35   # 绘制函数曲线  graph = axes.plot(func, color=RED)  graph_label = axes.get_graph_label(graph, label='f(x) = x^3 - 6x^2 + 35')  x11 = [6, 5.5, 5.2, 5.01, 5.0001, 4.999, 4.99, 4.9, 4.5, 4]  # 添加点和文本  dots = []  text_mobs = []  for x in x11:  y = func(x)  dot = Dot(axes.c2p(x, y), color=YELLOW)  label = Text(f"({x:.1f}, {y:.1f})", font_size=20).next_to(dot, DOWN)  dots.append(dot)  text_mobs.append(label)  self.add(axes)  # 绘制函数和标签  self.play(Create(graph), run_time=2)  self.play(Write(graph_label))  # 添加点和对应文本  for dot, label in zip(dots, text_mobs):  self.play(FadeIn(dot), Write(label), run_time=0.5)  self.wait(2)  # 画面切换: 创建一个新的场景来显示表格  self.switch_to_table_scene(dots, x11)  def switch_to_table_scene(self, dots, x_values):  # 计算y值  y_values = [round(self.func(x), 2) for x in x_values]  # 计算并保留两位小数  # 创建表格  table = Table(  [  [f"x", "f(x)"],  *[[f"{x:.2f}", f"{y:.6f}"] for x, y in zip(x_values, y_values)]  ],   include_outer_lines=True  ).scale(0.5)  # 表格放在画面中央  table.move_to([3,0,0]) self.clear()# 显示表格  self.play(Create(table))  self.wait(3)  def func(self, x):  return x**3 - 6*x**2 + 35  # 定义函数

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那么，这告诉我们关于t=5?让我们在上面的答案上放置一些单位。这可能有助于我们了解此时卷发生的情况。假设体积上的单位以 $cm^3$ 为单位。变化率的单位（平均和瞬时）为 $cm^3/hr$ 。

我们估计，在t=5体积以 $15cm^3/hr$ 的速度变化。这意味着在t=5体积的变化方式是，如果速率是恒定的，那么一小时后气球中的空气将比 15 厘米3 时多t=5.

然而，我们在这里确实需要小心。实际上，一小时后气球中的空气可能不会增加 15 厘米3。成交量的变化速度通常不是恒定的，因此我们无法真正确定再过一小时后成交量会是多少。我们可以说的是，体积在增加，因为瞬时变化率是正的，如果我们有其他值的变化率tt我们可以比较这些数字，看看其他点的变化率是更快还是更慢。

例如，在t=4瞬时变化率为 $0cm^3/hr$ ，在t=3瞬时变化率为 $-9cm^3/hr$ 。我们将让您检查这些变化率。事实上，这是一个很好的练习，看看你是否可以建立一个值表来支持我们对这些变化率的主张。

无论如何，回到例子。在t=4变化率为零，因此此时交易量根本没有变化。这并不意味着它在未来不会改变。它只是意味着t=4音量没有变化。同样，在t=3体积减小，因为该点的变化率为负。我们也可以说，无论变化率的增加/减少方面如何，气球的体积在t=5t=5比现在的t=3因为 15 大于 9。

补充代码：

from manim import *  class RatesofChange(Scene):  def construct(self):  # 创建坐标系  """def kfunc(x):return 19-6*xgraphk = axes.plot(kfunc, color=YELLOW_A)tangent_point_x = 1  tangent_point_y = func(tangent_point_x) # 计算切线的 y 截距  y_intercept = tangent_point_y - tangent_slope * tangent_point_x  # 创建切线  tangent_line = axes.plot(lambda x: tangent_slope * x + y_intercept, color=BLUE_E, x_range=[-3, 3]) ar=Arrow(start=axes.c2p(4,9),end=[2,1,0],buff=0,color=YELLOW)ar2=Arrow(start=[1,-2.5,0],end=axes.c2p(2.7,3),buff=0)# Create a line passing through dot1 and dot2 with long endpoints to simulate infinite lengthline_infinite = Line(dot2,dot1).set_color(RED)# 添加箭头和文本  tangent_text01 = MarkupText("这是条切线。", font_size=24, color=PINK).next_to(ar,UP,buff=0)  not_tangent_text = MarkupText("割线", font_size=24).next_to(axes.c2p(1.5,2))  # 切线的斜率  tangent_slope = -4*tangent_point_x# f'(x) = -4x  """axes = Axes(  x_range=[3, 7.5,1],  y_range=[6, 25,3], y_length=6,x_length=10,axis_config={"color": BLUE},  ).add_coordinates()  # 定义函数  def func(x):  return x**3-6*x**2+35 # 绘制函数曲线  graph = axes.plot(func, color=RED)graph_label = axes.get_graph_label(graph, label='f(x) = x^3 - 6x^2+35')x11=[6,5.5,5.2,5.01,5.0001,4.999,4.99,4.9,4.5,4]f=func(4)print(f)# 切点  # 添加箭头和文本  #tangent_text = Title("Tangent Line at $(1, f(1))$",color=GOLD).shift(RIGHT) dot1=Dot(axes.c2p(1,13))self.add(dot1)td1=Text("P=(1,13)",font_size=20).next_to(dot1,DOWN)dot2=Dot(axes.c2p(2,7))td2=Text("Q=(2,7)",font_size=20).next_to(dot2,DOWN)self.add(dot2)self.add(axes)# 绘制所有元素  self.play(Create(graph),run_time=2)self.play(Write(graph_label))self.add(graph_label)self.add(td1,td2)self.wait(2)

运行结果：