《逻辑学》傅皓政 课程笔记

B站课程：《逻辑学》（全100讲）傅皓政

1. 句式之间的关系
   a. 蕴值关系 implication
   b. 等值关系 equivalence
   c. 互不蕴涵 independent

2. 一群句子之间的关系
   a. 不一致 inconsistency
   b. 一致 consistency

3. 真值表
   a. 结构、模型
   i. 每种原子命题的可能情况称为结构或模型
   ii. 出现n个原子命题，会有$(2^n)$种结构
   b. 演算步骤
   i. 列出所有可能情况
   ii. 列出所有句式，包括前提与结论
   iii. 依据外延原子决定所有句式的真假值
   iv. 判断前提为真结论为假的情况
   1) 有：无效论证
   2) 无：有效论证
   c. 反例结构
   i. 给出无效论证的例子
   d. 无前提或无结论的论证
   e. 可决定性 Decidability

4. 简易真值表法 shortcut
   a. 假设是无效论证
   b. 如果出现矛盾，则结论为有效论证，如果没有矛盾，则结论为无效论证

5. 映射完备性
   a. 二元映射：16种
   b. 三元映射
   c. 谢菲尔线 sheffer stroke
   $((P|Q)=\neg (P\wedge Q))$

6. 选言标准式 Disjunctive Normal Form
   a. 准原子句式：$P,Q,(\neg P),(\neg Q)$
   b. 找到所有为T的句式，并用$(\vee )$连接

7. 连言标准式 Conjunctive Normal Form
   a. 构造所有都为假的句式，选出结论为假的句式，并用$(\wedge )$连接

8. 极端情况
   a. 结论全为F：只有CNF，没有DNF
   b. 结论全为T：只有DNF，没有CNF

9. 等值句式的DNF和CNF

10. 映射完备性定理
    a. 对于任意n个命题符号，所有语句都可以用1~n个命题符号来表示，即DNF和CNF

11. 真值树系统
    a. 语法蕴涵关系
    i. 公理系统 Axiom System
    ii. 自然演绎法 Natural Deduction System
    iii. 真值树系统 Tableaux System
    b. 证明策略
    i. 由前提开始借由规则逐步得到结论（公理系统&自然演绎法）
    ii. 假设前提与结论的否定是一致的，借由规则得到矛盾，表示前提蕴涵结论（真值树系统）
    c. 结构
    i. 前提和结论的否定构成树根root
    ii. 根据推论逐步分解
    iii. 当真值树成长到无法再以推论规则进行分解，则称为完全展开
    d. 基本规则
    i. 一个分支$(\alpha )$
    ii. 两个分支$(\beta )$
    e. 系统规则
    i. $(\neg \neg P\equiv P)$
    ii. $(P\wedge Q)$
    iii. $(P\vee Q)$
    iv. $(P\to Q\equiv \neg P\wedge Q)$
    v. $(P\leftrightarrow Q\equiv (P\wedge Q)\vee (\neg P\wedge \neg Q))$
    vi. $(\neg (P\wedge Q)\equiv \neg P\vee \neg Q)$
    vii. $(\neg (P\vee Q)\equiv \neg P\wedge \neg Q)$
    viii. $(\neg (P\to Q)\equiv (P\wedge \neg Q)\vee (\neg P\wedge Q))$
    f. 优点
    i. 决定论证是否为有效论证
    ii. 如果是无效论证，可以给出反例
    iii. 只需分解，无需组合
    g. 一致性
    i. 所有的句式同时为真（存在分支不封闭）

12. 公理系统
    a. 结构
    i. 公理：在任何系统中皆真的句子
    ii. 推论系统：在推论过程中能够保存真值的规则
    b. 公理
    i. A1：$(P\to (Q\to P))$
    ii. A2：$((P\to (Q\to R))\to ((P\to Q)\to (P\to R)))$
    iii. A3：$((\neg P\to \neg Q)\to (Q\to P))$
    c. 推论规则MP
    i. 从P和$(P\to Q)$成立，推出Q成立
    d. 演绎定理
    i. 若$(\phi ⊢\psi )$，则$(⊢\phi \to \psi )$成立
    e. 定理：由公理和推论规则得到的结论

13. 自然演绎法
    a. 分类
    i. 树状自然演绎法
    ii. 线性自然演绎法
    b. 树状自然演绎法规则
    c. 线性自然演绎法等值规则
    i. 笛摩根定律DeM：
    1) $\neg (\phi \wedge \psi )\equiv (\neg \phi \vee \neg \psi )$
    2) $\neg (\phi \vee \psi )\equiv (\neg \phi \wedge \neg \psi )$
    ii. 交换律
    1) $(\phi \vee \psi )\equiv (\psi \vee \phi )$
    2) $(\phi \wedge \psi )\equiv (\psi \wedge \phi )$
    iii. 双重否定律
    1) $\phi \equiv \neg \neg \phi$
    iv. 结合律
    1) $(\phi \vee (\psi \vee \theta ))\equiv ((\phi \vee \psi )\vee \theta )$
    2) $(\phi \wedge (\psi \wedge \theta ))\equiv ((\phi \wedge \psi )\wedge \theta )$
    v. 分配律
    1) $(\phi \wedge (\psi \vee \theta ))\equiv (\phi \wedge \psi )\vee (\phi \wedge \theta )$
    2) $(\phi \vee (\psi \wedge \theta ))\equiv (\phi \vee \psi )\wedge (\phi \vee \theta )$
    vi. 等值律
    1) $(\phi \to \psi )\equiv (\phi \to \psi )\wedge (\psi \to \phi )$
    2) $(\phi \leftrightarrow \psi )\equiv (\phi \wedge \psi )\vee (\neg \psi \wedge \neg \phi )$
    vii. 移出律
    1) $((\phi \wedge \psi )\to \theta )\equiv (\phi \to (\psi \to \theta ))$
    viii. 换质位律
    1) $(\phi \to \psi )\equiv (\neg \psi \to \neg \phi )$
    ix. 蕴涵律
    1) $(\phi \to \psi )\equiv (\neg \psi \vee \phi )$
    x. 重言律
    1) $\phi \equiv \phi \vee \phi$
    2) $\phi \equiv \phi \wedge \phi$
    d. 线性自然演绎法蕴涵规则
    i. 肯定前项律
    $\phi \to \psi ,\phi ⊢\psi$
    ii. 否定后项律
    $\phi \to \psi ,\neg \psi ⊢\neg \phi$
    iii. 假言三段论
    $\phi \to \psi ,\psi \to \theta ⊢\phi \to \theta$
    iv. 选言三段论
    $\phi \vee \psi ,\neg \phi ⊢\psi$
    $\phi \vee \psi ,\neg \psi ⊢\phi$
    v. 简化律
    $\phi \wedge \psi ⊢\phi$
    $\phi \wedge \psi ⊢\psi$
    vi. 连言律
    $\phi ,\psi ⊢\phi \wedge \psi$
    vii. 建构两难律
    $\phi \to \psi ,\theta \to \delta ,\phi \vee \theta ⊢\psi \vee \delta$

    e. 推论规则
    i. 通称规则 EG
    $\phi (n)⊢(\exists x)\phi (x)$
    ii. 全称通称规则 UG
    $\phi (n)⊢(\forall x)\phi (x)$

14. 语词逻辑的起源
    a. 句型的结构解析
    i. 三段论的语词结构
    1) 量词+语词+系词+语词
    2) 精确量词：全部、某些
    ii. 四种基本句型
    1) A句型：所有的S都是P
    2) E句型：
    3) I句型：有些S是P
    4) O句型：有些S不是P
    b. 三段论的论证结构
    i. 大前提
    ii. 小前提
    iii. 结论
    c. 语词类型
    i. 大词P：出现在结论述词位置的语词
    ii. 小词S：出现在结论主词位置的语词
    iii. 中词M：只出现在前提而未出现在结论的语词
    d. 句式的格式化
    i. SAP：所有的S都是
    ii. SEP：所有的S都不是P
    iii. SIP：有些S是P
    iv. SOP：有些S不是P
    e. 三段论的样态
    f. 三段论的有效性 - 简易测试法
    | 结论 | 前提 |
    |------|------|
    | 肯定句 | 都是肯定句 |
    | 否定句 | 一个肯定句，一个否定句 |
    g. 三段论范式
    h. 文式图

15. 述词逻辑语言
    a. 新元素
    i. 单称语词：个别东西
    ii. 变量：非特定对象
    iii. 函映关系：对象之间的映射
    iv. 述词符号：n个对象之间的关系
    1) 一元述词$P_a$
    2) 二元述词$P_{ab}$
    b. 形构规则
    i. 原子句式
    1) 等同符号连接两个语词的句式，a=b，x=y
    2) 如果P是n元述词，则P(a1,a2,…,an)为原子句式
    ii. 复合句式
    1) $\neg \phi$
    2) $\phi \vee \psi ,\phi \to \psi ,\phi \leftrightarrow \psi$
    3) $(\forall x)\phi (x),(\exists x)\phi (x)$
    c. 一元述词的翻译
    i. A句型：$(\forall x)(M_x\to R_x)$
    ii. E句型：$(\forall x)(M_x\to \neg R_x)$
    iii. I句型：$(\exists x)(M_x\wedge R_x)$
    iv. O句型：$(\exists x)(M_x\wedge \neg R_x)$
    d. QN规则
    i. $⊢(\forall x)\phi (x)\leftrightarrow (\exists x)\neg \phi (x)$
    ii. $⊢(\exists x)\phi (x)\leftrightarrow (\forall x)\neg \phi (x)$
    e. 二元关系述词的重要性质
    i. 对称关系：$(\forall x)(\forall y)(R_{xy}\to R_{yx})$
    ii. 反对称关系：$(\forall x)(\forall y)(R_{xy}\to \neg R_{yx})$
    iii. 非对称关系：
    iv. 传递关系：$(\forall x)(\forall y)(\forall z)((R_{xy}\wedge R_{yz})\to R_{xz})$
    v. 反传递关系：$(\forall x)(\forall y)(\forall z)((R_{xy}\wedge R_{yz})\to \neg R_{xz})$
    vi. 自反关系：$(\forall x)R_{xx}$
    vii. 反自反关系：$(\forall x)\neg R_{xx}$
    viii. 非自反关系：
    f. 量词的翻译原则
    i. 所有人
    ii. 有些人
    iii. 至少一个
    iv. 至多一个
    v. 恰好
    vi. 只有
    g. 论域：量词所指的对象的集合
    h. 确定描述词

16. 述词逻辑真值树系统
    a. 个例化规则：消除量词
    b. 通称化规则：增加量词
    c. 新增规则
    i. $(\forall x)\phi (x)⊢\phi (x)$
    ii. $(\exists x)\phi (x)⊢\phi (x)$
    iii. $\neg (\forall x)\phi (x)⊢(\exists x)\neg \phi (x)$
    iv. $\neg (\exists x)\phi (x)⊢(\forall x)\neg \phi (x)$
    d. 不可决定性
    i. 二阶及以上逻辑系统不具可决定性

17. 逻辑的谬误
    a. 形式谬误：无效的论证
    i. 肯定后件的谬误：$P\to Q,Q/⊢P$
    ii. 否定前件的谬误：$P\to Q,\neg P/⊢\neg Q$
    iii. 换质换位的谬误：$P\to Q/⊢\neg P\to \neg Q$
    iv. 连言否定的谬误：$\neg (P\wedge Q)/⊢\neg P\wedge \neg Q$
    v. 全称语句换质换位的谬误：$(\forall x)(P_x\to Q_x)/⊢(\forall x)(\neg P_x\to \neg Q_x)$
    b. 非形式谬误：可能有效论证，可能无效论证
    i. 不相干：前提与结论不相干
    1) 诉诸暴力的谬误
    2) 诉诸怜悯的谬误
    3) 诉诸情感的谬误
    4) 诉诸群众的谬误
    5) 人身攻击的谬误
    6) 诉诸不当权威的谬误
    7) 诉诸无知的谬误
    8) 转移焦点的谬误
    ii. 误导：利用前提误导听众接受结论
    1) 稻草人的谬误
    2) 片面辩护的谬误
    3) 以偏概全的谬误
    4) 分称的谬误
    5) 合称的谬误
    iii. 假定：前提可导出结论，但前提假定有问题
    1) 二分法的谬误
    2) 滑坡谬误
    3) 乞求争点的谬误