数据结构-堆-详解

1.性质

堆是一种特殊的完全二叉树，其父节点总是不大于/不小于 子节点。
相比于普通二叉树，堆更适合用顺序结构的数组存储。

大根堆

其中任一父节点都不小于子节点。
逻辑结构：

储存结构：

小根堆

其中任一父节点都不大于子节点。
逻辑结构：

储存结构：

2.实现

2.1struct Heap、HeapInit、HeapDestroy

堆的结构体、堆的初始化、堆的销毁。
从上面的大小根堆可以看出，堆在实现上是一个顺序表，而逻辑上是二叉树。
因此，这几步与顺序表几乎完全一致：

typedef int HeapDataType;
typedef struct Heap
{HeapDataType* a;int size;int capacity;
}Heap;void HeapInit(Heap* php)
{assert(php);php->a = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * 4);if (!php->a){perror("HeapInit::malloc");return;}php->size = 0;php->capacity = 4;
}void HeapDestroy(Heap* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}

2.2HeapPush

插入元素。

void HeapPush(Heap* php, HeapDataType x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){HeapDataType* tmp = (HeapDataType*)realloc(php->a,sizeof(HeapDataType) * php->capacity * 2);if (!tmp){perror("HeapDataType::realloc");return;}php->a = tmp;php->capacity *= 2;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a,php->size-1);
}

先判断是否需要扩容，再插入。
但这是个堆，因此需要对数据进行调整。
此处以大根堆为例，使用向上调整法AdjustUp。

AdjustUp

大根堆需要满足其中任一父节点都不小于子节点。
当插入一个节点后，可以将其与父节点比较，不满足条件则交换，最多调到根。

void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{assert(a);int parent = (child - 1) / 2;while (parent >= 0){if (a[child] > a[parent])Swap(a + child, a + parent);elsebreak;child = parent;parent = (child - 1) / 2;}
}//有小bug

由公式得：父节点下标parent = (child - 1) / 2。
进入循环：

• 如果不满足条件，则交换Swap。

void Swap(HeapDataType* a,HeapDataType* b)
{assert(a && b);HeapDataType tmp = *a;*a = *b;*b = tmp;
}

这里又封装了一个函数，因为这部分需要用到交换的地方还挺多的。

• 如果满足条件，由于堆的性质，可直接break结束循环。

一个小bug:需注意的是循环结束条件parent >= 0，当运行时，会发现程序能跑，没出问题。
但可以分析一下：如果child已经为根，即child == 0，算一下parent：(0 - 1)/2 = 0。
下图的情景出现了！

当然，这里的bug是能改的，用child作为判断条件即可：

//while (parent >= 0)
while(child>0)

2.3HeapPop

删除堆顶元素。

堆顶元素为堆的最大/小值，因此，删除堆顶元素才具有一定意义。

挪动删除，
是不行的：

两个原因：

• 效率低下
• 父子关系被打乱

正确方法：

void HeapPop(Heap* php)
{assert(php);assert(!HeapEmpty(php));Swap(php->a, php->a + php->size - 1);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

这里，先将最前的与最后的交换(Swap)，
然后删除最后一个元素(size--),
最后，向下调整(AdjustDown)。

AdjustDown

void AdjustDown(HeapDataType* a, int n, int parent)
{assert(a);int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if ((child + 1) < n && a[child] < a[child + 1])child++;if (a[parent] < a[child])Swap(a + parent, a + child);elsebreak;parent = child;child = parent * 2 + 1;}
}

这里传了三个参数，其中parent为需要调整的父节点的位置，此处传0。
while循环，会在child下标小于堆大小n的情况下继续执行，这表示还有子节点存在。
由于是大根堆，向下调整时，先选出子节点中的较大值，再与父节点比较，满足则break出循环，不满足条件则交换，继续循环。

2.4HeapTop、HeapSize、HeapEmpty

取堆顶元素、堆的大小、判空。

HeapDataType HeapTop(Heap* php)
{assert(php);return php->a[0];
}int HeapSize(Heap* php)
{assert(php);return php->size;
}bool HeapEmpty(Heap* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

3.应用

3.1堆排

即使用堆进行排序。
给一个数组，要使用堆排，前提是必须有个堆，因此第一步为建堆。
那么，建大堆还是小堆？怎么建堆？
建什么堆，这里有个规律：

• 升序建大堆
• 降序建小堆

如何建堆，有两种方法：

• 使用向上调整法，插入建堆
• 使用向下调整法，调整建堆

建堆

向上调整法：

void HeapSort(int* a, int n)
{//建堆for (int i = 0; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}//排序
}

向下调整法：
使用向下调整法建堆，需满足左、右子树必须是堆。
随便给的数组肯定不能满足此条件，因此不能从根节点开始建堆，需要找倒数第一个非叶子节点：

叶节点是堆，空节点也是堆，因此，从第一个非叶子节点开始使用向下调整法，不断调整直到根节点。

void HeapSort(int* a, int n)
{//建堆for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}//排序
}

在实际使用中，通常使用向下调整法建堆，因为向上调整法的时间复杂度为O(N*logN)，而向下调整法的时间复杂度为O(N)。

排序

这里使用的是堆删除的思想来排序。
现在假设排升序，并且已经建好了一个大堆：


Pop一下，最大的就跑最后去了，然后重复此过程，就能排成升序。
这也验证了：

• 升序建大堆
• 降序建小堆

完整代码：

void HeapSort(int* a, int n)
{//建堆for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}//排序int size = n;while (size--){Swap(a, a + size);AdjustDown(a, size, 0);}
}

3.2TopK问题

即在很多数中找出最… 的K个 数。
这里的很多一般是真的很多，因此不能在对全部数据进行排序，因为浪费空间。
解决方法是用这些数的前K个建个堆，在将其余满足条件的数插入堆中。

建堆：

• 求最大，建小堆
• 求最小，建大堆

插入：

依次将其余的数与堆顶的数进行比较，根据需要进行替换，最后堆中的K个数即为所求。

希望本篇文章对你有所帮助！并激发你进一步探索数据结构的兴趣！

本人仅是个C语言初学者，如果你有任何疑问或建议，欢迎随时留言讨论！让我们一起学习，共同进步！

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