C++——⼆叉搜索树

一、 ⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
• ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值。

二、⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：O(log2 N)
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：O( N / 2)

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，后面⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三、⼆叉搜索树的插⼊

插⼊的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。
3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛。

bool Insert(const k& key)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key > key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return true;
}

四、⼆叉搜索树的查找

1.从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回。
4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回。(下面的代码设计的不能插入相等的值）

bool Find(const k& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;
}

五、⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩⼦均为空
2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。 找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

bool Erase(const k& key)
{Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else{// 左右都不为空// 右子树最左节点//替换的可以是左子树的最大值，也可使用右子树的最小值Node* replaceparent = cur;Node* replace = cur->_right;//右子树的最小值while (replace->_left){replaceparent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;if (replaceparent->_left == replace){replaceparent->_left = replace->_right;}else{replaceparent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;
}

六、二叉搜索树的有序遍历

根据二叉搜索树的规则，使用中序遍历（左->根->右）可以让出现的结果是有序排列的。

//中序遍历
void _InOrder(const Node* root)
{if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);
}

七、⼆叉搜索树的实现代码

//Binary Search Tree
//二叉搜索树
namespace key
{template<class k>struct BSTNode{k _key;BSTNode<k>* _left;BSTNode<k>* _right;BSTNode(const k& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class k>class BSTree{public://下面这两个作用相等//typedef BSTNode<k> Node;using Node = BSTNode<k>;bool Insert(const k& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key > key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return true;}bool Find(const k& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;}bool Erase(const k& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else{// 左右都不为空// 右子树最左节点//替换的可以是左子树的最大值，也可使用右子树的最小值Node* replaceparent = cur;Node* replace = cur->_right;//右子树的最小值while (replace->_left){replaceparent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;if (replaceparent->_left == replace){replaceparent->_left = replace->_right;}else{replaceparent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private://中序遍历void _InOrder(const Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;};
}

八、二叉搜索树key与key_value的应用

key的应用

有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。
key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。
场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

key_value的应用

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。 树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。
key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。
场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。
场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

可以参考下面的两个代码：

void test03()
{key_value::BSTree<string, string> t;t.insert("insert", "插入");t.insert("erase", "删除");t.insert("find", "查找");t.insert("mihayou", "米哈游");string s;while (cin >> s){auto cur = t.find(s);if (cur){cout << cur->_value << endl;}else{cout << "no find" << endl;}}
}

void test04()
{string arr[] = {"aaa","bbb","ddd","ccc","aaa","bbb","ccc","ddd","qqq"};key_value::BSTree<string, int> t;for (auto& e : arr){auto cur = t.find(e);if (cur){cur->_value++;}else{t.insert(e, 1);}}t.InOrder();/*key_value::BSTree<string, int> tt = t;tt.InOrder();key_value::BSTree<string, int> ttt;ttt = t;ttt.InOrder();*/}

key/value⼆叉搜索树代码实现

namespace key_value
{template<class k,class v>struct BSTNode{k _key;v _value;BSTNode<k,v>* _left;BSTNode<k,v>* _right;BSTNode(const k& key,const v& value):_key(key),_value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class k,class v>class BSTree{public://下面这两个作用相等//typedef BSTNode<k> Node;using Node = BSTNode<k,v>;BSTree() = default;BSTree(const BSTree& t){_root = Copy(t._root);}BSTree& operator=(BSTree t){swap(_root, t._root);return *this;}~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}bool Insert(const k& key,const v& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key,value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key,value);if (parent->_key > key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return true;}Node* Find(const k& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const k& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else{// 左右都不为空// 右子树最左节点//替换的可以是左子树的最大值，也可使用右子树的最小值Node* replaceparent = cur;Node* replace = cur->_right;//右子树的最小值while (replace->_left){replaceparent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;if (replaceparent->_left == replace){replaceparent->_left = replace->_right;}else{replaceparent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private://中序遍历void _InOrder(const Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " " << root->_value << " ";_InOrder(root->_right);}void Destroy(Node* root){if (root == nullptr){return;}Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr){return nullptr;}Node* newnode = new Node(root->_key, root->_value);newnode->_left = Copy(root->_left);newnode->_right = Copy(root->_right);return newnode;}    private:Node* _root = nullptr;};}