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P9235 [蓝桥杯 2023 省 A] 网络稳定性

news 来源：原创 2024/9/21 22:53:22

*原题链接*

最小瓶颈生成树题，和货车运输完全一样。

先简化题意， $q$ 次询问，每次给出 $x,y$ ，问 $x$ 到 $y$ 的所有路径集合中，最小边权的最大值。

对于这种题可以用kruskal生成树来做，也可以用倍增来写，但不管怎样都要先求出最大生成树，因为最小边权的最大值肯定会在最大生成树中出现。然后我们要做的就是在树中，求 $x$ 到 $y$ 的最短路径上的最小边权。这个可以倍增求，求解的过程类似求 lca。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=3e5+10,INF=0x3f3f3f3f;int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x*f;
}int n,m,q,head[N],tot,f[N],fa[N][20],dep[N],fm[N][20];
struct node{int from,to,nxt,w;
}e[M*2],edge[M*2];
void add(int x,int y,int w){edge[++tot].to=y;edge[tot].w=w;edge[tot].nxt=head[x];head[x]=tot;
}
bool cmp(node a,node b){return a.w>b.w;
}int find(int x){if(x!=f[x]) f[x]=find(f[x]);return f[x];
}void kruskal(){for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;sort(e+1,e+1+m,cmp);for(int i=1;i<=m;i++){int x=find(e[i].from),y=find(e[i].to);if(x==y) continue;f[x]=y,add(e[i].from,e[i].to,e[i].w),add(e[i].to,e[i].from,e[i].w);}
}void dfs(int x,int father){dep[x]=dep[father]+1,fa[x][0]=father;for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){int y=edge[i].to;if(y==father) continue;fm[y][0]=edge[i].w;dfs(y,x);}
}void init(){for(int i=1;(1<<i)<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];fm[j][i]=min(fm[j][i-1],fm[fa[j][i-1]][i-1]);}}
}int lca(int x,int y){if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);int k=log2(dep[y]+1),ans=INF;for(int i=k;i>=0;i--){if(dep[y]-(1<<i)>=dep[x]) ans=min(ans,fm[y][i]),y=fa[y][i];}if(x==y) return ans;for(int i=k;i>=0;i--){if(fa[x][i]!=fa[y][i]){ans=min(ans,min(fm[x][i],fm[y][i]));x=fa[x][i],y=fa[y][i];}}return min(ans,min(fm[x][0],fm[y][0]));
}int main(){n=read(),m=read(),q=read();for(int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read(),w=read();e[i]={x,y,0,w};}kruskal(),memset(fm,0x3f,sizeof(fm)),dfs(1,0),init();while(q--){int x=read(),y=read();if(find(x)!=find(y)) cout<<-1<<endl;else cout<<lca(x,y)<<endl;}return 0;
}