数值实验作业（第一章）
数值实验作业（第一章）
《数值计算方法》丁丽娟
P14. 2
利用级数
π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots 4π=1−31+51−71+⋯
计算无理数 π \pi π的近似值。由于交错级数的部分和数列 S N S_N SN在级数的和上下摆动，截断误差将小于第一个被舍弃的项 ∣ a n + 1 ∣ \left|a_{n+1}\right| ∣an+1∣. 试分析：若要使截断误差小于 1 0 − 4 10^{-4} 10−4或 1 0 − 8 10^{-8} 10−8，应该取多少项求和？并分别计算 π \pi π的近似值。
实验内容、步骤及结果
由于截断误差将小于第一个被舍弃的项 ∣ a n + 1 ∣ \left|a_{n+1}\right| ∣an+1∣，易编程实现：
def is_term_less_than(n, threshold):term = (-1) ** n / (2 * n + 1)return abs(term) < thresholddef calculate_series(n):series_sum = .0for i in range(n):term = (-1) ** i / (2 * i + 1)series_sum += termreturn series_sumdef main():expected_trunc_errs = [1e-4, 1e-5, 1e-6, 1e-8]for trunc_err in expected_trunc_errs:print(f'期望截断误差为{trunc_err}')n = 0while not is_term_less_than(n, trunc_err):n += 1print(f'需要计算{n}项')print(f'π的近似值为{4 * calculate_series(n)}')if __name__ == '__main__':main()
实验结果分析
期望截断误差为0.0001
需要计算5000项
π的近似值为3.141392653591791
期望截断误差为1e-05
需要计算50000项
π的近似值为3.1415726535897814
期望截断误差为1e-06
需要计算500000项
π的近似值为3.141590653589692
期望截断误差为1e-08
需要计算50000000项
π的近似值为3.1415926335902506
随截断误差减小， π \pi π的估计值越精确，但计算项数也随之增大。
P14. 3
在同一坐标系下，利用plot函数画出函数
y = sin x , y n = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i x 2 i + 1 ( 2 i + 1 ) ! , ( n = 2 , 5 , 10 ) y=\sin x, y_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i \frac{x^{2 i+1}}{(2 i+1)!}, \quad(n=2,5,10) y=sinx,yn=i=0∑n(−1)i(2i+1)!x2i+1,(n=2,5,10)
的图形，并加标注说明各条曲线的含义。
实验内容、步骤及结果
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from decimal import Decimal, getcontextgetcontext().prec = 50x = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 80)y = np.sin(x)def taylor_series(x, n):result = np.zeros_like(x, dtype=np.float64)for i in range(n + 1):result += ((-1) ** i) * (x ** (2 * i + 1)) / float(Decimal(math.factorial(2 * i + 1)))return resulty_2 = taylor_series(x, 1)
y_5 = taylor_series(x, 5)
y_10 = taylor_series(x, 10)plt.plot(x, y, label='y=sin(x)', color='blue')
plt.plot(x, y_2, label='y_2', color='green')
plt.plot(x, y_5, label='y_5', color='red', linestyle='--')
plt.plot(x, y_10, label='y_10', color='orange', linestyle='-.')plt.ylim(-1.5, 1.5)ax = plt.gca()
ax.spines['left'].set_position('center')
ax.spines['bottom'].set_position('center')ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')plt.legend()plt.show()
实验结果分析
当 x → 0 x\to 0 x→0时，用泰勒展开近似 sin x \sin x sinx的截断误差较小。随着 x x x增大，截断误差越明显。
P13. 4, 7, 9, 10, 12
⚠️ 10题算错了，求根公式x= (-b ± 根号Δ )/2a，分母有个2，这里是按分母是1算。感谢@十五csw指正！
