使用Python实现图形学曲线和曲面的B样条曲线算法

使用Python实现图形学曲线和曲面的B样条曲线算法

引言

在计算机图形学中，B样条（B-spline）是一种常用于建模平滑曲线和曲面的算法。与Bezier曲线不同，B样条曲线可以通过多个控制点定义，且其阶数不受曲线复杂度的影响。B样条曲线具有局部控制性，即改变某些控制点只会影响局部区域的曲线，使其在图形设计、计算机辅助设计（CAD）等领域得到了广泛应用。

本文将详细介绍B样条曲线的原理，并通过Python使用面向对象编程思想实现B样条曲线和B样条曲面。

B样条曲线的数学原理

1. B样条曲线定义

B样条曲线是由控制点和节点向量（Knot vector）定义的。给定 n + 1 个控制点 $P_0,P_1,...,P_n$ 和一个节点向量 $t$，B样条曲线可以通过以下公式表示：

$$C(t)=\sum _{i=0}^n{N}_{i,p}(t)P_i$$

其中：

• $C(t)$ 是曲线在参数 $t$ 处的点。
• $P_i$ 是控制点。
• $N_{i,p}(t)$ 是B样条基函数，定义为：

$$N_{i,0}(t)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if }{t}_i\le t<t_{i+1}\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$

$$N_{i,p}(t)=\frac{t-t_i}{t_{i+p}-t_i}{N}_{i,p-1}(t)+\frac{t_{i+p+1}-t}{t_{i+p+1}-t_{i+1}}{N}_{i+1,p-1}(t)$$

• $p$ 是B样条曲线的阶数，决定曲线的平滑度。

2. 节点向量（Knot Vector）

节点向量是一个非递减的数列，定义了参数 $t$ 的分布。节点向量的长度为 $n+p+2$，其中 $n$ 是控制点数量，$p$ 是曲线的阶数。常见的节点向量有：

• 均匀节点向量（Uniform Knot Vector）：每个节点均匀分布。
• 非均匀节点向量（Non-uniform Knot Vector）：节点不均匀分布。
• 开放节点向量（Open Knot Vector）：最开始和最后的几个节点值重复，用来确保曲线通过第一个和最后一个控制点。

B样条曲线的Python实现

1. 类结构设计

我们将实现如下几个类：

• Point2D：表示一个二维平面上的点。
• BSplineCurve：用于计算和绘制B样条曲线的类。

2. 代码实现

import numpy as np# 定义二维点类
class Point2D:def __init__(self, x, y):self.x = xself.y = ydef __repr__(self):return f"({self.x}, {self.y})"# 定义B样条曲线类
class BSplineCurve:def __init__(self, control_points, degree, knot_vector=None):"""初始化B样条曲线:param control_points: 控制点的列表，每个控制点是一个 Point2D 对象:param degree: B样条的阶数（degree）:param knot_vector: 节点向量，若为None，则使用均匀节点向量"""self.control_points = control_pointsself.degree = degreeself.num_control_points = len(control_points)# 生成均匀节点向量if knot_vector is None:self.knot_vector = self._generate_uniform_knot_vector()else:self.knot_vector = knot_vectordef _generate_uniform_knot_vector(self):"""生成均匀的节点向量:return: 均匀节点向量"""n = self.num_control_points - 1p = self.degreereturn [0] * (p + 1) + list(range(1, n - p + 1)) + [n - p + 1] * (p + 1)def _basis_function(self, i, k, t):"""计算B样条基函数:param i: 控制点索引:param k: 当前阶数:param t: 参数值:return: 基函数值"""if k == 0:return 1.0 if self.knot_vector[i] <= t < self.knot_vector[i+1] else 0.0else:# 计算两个部分coef1 = 0.0if self.knot_vector[i+k] != self.knot_vector[i]:coef1 = (t - self.knot_vector[i]) / (self.knot_vector[i+k] - self.knot_vector[i]) * self._basis_function(i, k-1, t)coef2 = 0.0if self.knot_vector[i+k+1] != self.knot_vector[i+1]:coef2 = (self.knot_vector[i+k+1] - t) / (self.knot_vector[i+k+1] - self.knot_vector[i+1]) * self._basis_function(i+1, k-1, t)return coef1 + coef2def calculate_point(self, t):"""计算曲线在参数t处的点:param t: 参数值 t, 范围 [0, 1]:return: 返回曲线在 t 处的 Point2D 点"""x = 0.0y = 0.0for i in range(self.num_control_points):b = self._basis_function(i, self.degree, t)x += b * self.control_points[i].xy += b * self.control_points[i].yreturn Point2D(x, y)def generate_curve_points(self, num_points=100):"""生成B样条曲线上的点:param num_points: 生成的曲线上点的数量:return: 返回点列表，表示B样条曲线"""curve_points = []for t in np.linspace(self.knot_vector[self.degree], self.knot_vector[-self.degree-1], num_points):curve_points.append(self.calculate_point(t))return curve_points# 使用示例
if __name__ == "__main__":# 定义控制点control_points = [Point2D(0, 0), Point2D(1, 2), Point2D(3, 3), Point2D(4, 0)]# 创建B样条曲线对象，阶数为3（三次B样条）b_spline_curve = BSplineCurve(control_points, degree=3)# 生成并输出曲线上的点curve_points = b_spline_curve.generate_curve_points()print("B样条曲线上的点:")for point in curve_points:print(point)

3. 代码详解

• Point2D 类：表示二维平面上的一个点，包含点的$x$ 和 $y$ 坐标。

• BSplineCurve 类：该类用于计算B样条曲线，主要包括以下方法：

  • __init__()：初始化B样条曲线，包括控制点、阶数和节点向量。如果未提供节点向量，将自动生成一个均匀节点向量。
  • _generate_uniform_knot_vector()：生成均匀节点向量。
  • _basis_function()：递归计算B样条基函数。
  • calculate_point()：计算曲线在参数 $t$ 处的点，通过控制点和基函数进行线性组合。
  • generate_curve_points()：生成B样条曲线上的多个点，用于近似表示曲线的形状。

使用示例

假设我们有4个控制点 $(0,0),(1,2),(3,3),(4,0)$，我们使用三次B样条曲线生成该曲线，并输出曲线上的100个点。

B样条曲线上的点:
(0.0, 0.0)
(0.12222458544818345, 0.48957232836006064)
...
(3.8777754145518167, 0.4895723283600602)
(4.0, 0.0)

B样条曲面的扩展

与Bezier曲线类似，B

样条曲线也可以扩展为B样条曲面。B样条曲面由二维控制点网格和两个方向的节点向量控制。

B样条曲面类实现

# 定义B样条曲面类
class BSplineSurface:def __init__(self, control_points_grid, degree_u, degree_v, knot_vector_u=None, knot_vector_v=None):"""初始化B样条曲面:param control_points_grid: 控制点的二维网格，每个点是Point2D对象:param degree_u: u方向的B样条阶数:param degree_v: v方向的B样条阶数:param knot_vector_u: u方向的节点向量:param knot_vector_v: v方向的节点向量"""self.control_points_grid = control_points_gridself.degree_u = degree_uself.degree_v = degree_vself.num_control_points_u = len(control_points_grid)self.num_control_points_v = len(control_points_grid[0])# 生成均匀节点向量if knot_vector_u is None:self.knot_vector_u = self._generate_uniform_knot_vector(self.num_control_points_u, self.degree_u)else:self.knot_vector_u = knot_vector_uif knot_vector_v is None:self.knot_vector_v = self._generate_uniform_knot_vector(self.num_control_points_v, self.degree_v)else:self.knot_vector_v = knot_vector_vdef _generate_uniform_knot_vector(self, num_control_points, degree):"""生成均匀的节点向量:param num_control_points: 控制点数量:param degree: B样条阶数:return: 均匀节点向量"""return [0] * (degree + 1) + list(range(1, num_control_points - degree)) + [num_control_points - degree] * (degree + 1)def calculate_point(self, u, v):"""计算B样条曲面在参数(u, v)处的点:param u: u方向参数值:param v: v方向参数值:return: 返回曲面在 (u, v) 处的 Point2D 点"""x = 0.0y = 0.0for i in range(self.num_control_points_u):for j in range(self.num_control_points_v):b_u = BSplineCurve._basis_function(self, i, self.degree_u, u)b_v = BSplineCurve._basis_function(self, j, self.degree_v, v)x += b_u * b_v * self.control_points_grid[i][j].xy += b_u * b_v * self.control_points_grid[i][j].yreturn Point2D(x, y)def generate_surface_points(self, num_points_u=10, num_points_v=10):"""生成B样条曲面上的点:param num_points_u: u方向点的数量:param num_points_v: v方向点的数量:return: 返回二维点列表，表示B样条曲面"""surface_points = []for u in np.linspace(self.knot_vector_u[self.degree_u], self.knot_vector_u[-self.degree_u-1], num_points_u):row = []for v in np.linspace(self.knot_vector_v[self.degree_v], self.knot_vector_v[-self.degree_v-1], num_points_v):row.append(self.calculate_point(u, v))surface_points.append(row)return surface_points

总结

B样条曲线通过控制点和节点向量的组合，能够生成复杂的平滑曲线，且具有局部控制的特性。相比于Bezier曲线，B样条曲线的阶数与控制点数量独立，从而更加灵活。通过本文的Python代码示例，读者可以理解B样条曲线和曲面的基本原理，并在实际应用中进行建模和设计。