Π-系上的最小 d-系等于 Π-系上的最小集代数
- 称空间 Ω \Omega Ω 中满足下述条件的集系为 d d d-系:
- Ω ∈ D \Omega \in \mathscr{D} Ω∈D
- 若 A , B ∈ D A, B \in \mathscr{D} A,B∈D 且 A ∩ B = ϕ A \cap B=\phi A∩B=ϕ, 则 A + B ∈ D A+B \in \mathscr{D} A+B∈D;
- 若 A ⊂ B , A , B ∈ D A \subset B, A, B \in \mathscr{D} A⊂B,A,B∈D ，则 B − A ∈ D B-A \in \mathscr{D} B−A∈D 。
试证: π \pi π-系上的最小 d d d-系等于 π \pi π-系上的最小集代数. 即若 C \mathscr{C} C 是 π \pi π-系, 则
D ( C ) = F ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C})=\mathscr{F}(\mathscr{C}) D(C)=F(C)
其中 D ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C}) D(C) 和 F ( C ) \mathscr{F}(\mathscr{C}) F(C) 分别表示 C \mathscr{C} C 上的最小 d d d-系和最小集代数.
要证明 π \pi π-系上的最小 d d d-系等于 π \pi π-系上的最小集代数，我们需要证明两个方向的包含关系：
- D ( C ) ⊆ F ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{F}(\mathscr{C}) D(C)⊆F(C)
- F ( C ) ⊆ D ( C ) \mathscr{F}(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{D}(\mathscr{C}) F(C)⊆D(C)
证明 F ( C ) ⊆ D ( C ) \mathscr{F}(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{D}(\mathscr{C}) F(C)⊆D(C)：
-
首先，我们知道 C \mathscr{C} C 是一个 π \pi π-系，这意味着它满足 π \pi π-系的定义，即 Ω ∈ C \Omega \in \mathscr{C} Ω∈C 并且对于任意的 A , B ∈ C A, B \in \mathscr{C} A,B∈C，有 A ∩ B ∈ C A \cap B \in \mathscr{C} A∩B∈C。
-
根据 d d d-系的定义， D ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C}) D(C) 是包含 C \mathscr{C} C 的最小 d d d-系。这意味着 D ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C}) D(C) 包含 C \mathscr{C} C 中的所有集合，并且满足 d d d-系的三个条件。
-
由于 C \mathscr{C} C 是 π \pi π-系，所以 D ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C}) D(C) 必须包含 C \mathscr{C} C 中所有集合的并集、交集和差集。因此， D ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C}) D(C) 至少包含 C \mathscr{C} C 上的最小集代数。
-
因此， F ( C ) ⊆ D ( C ) \mathscr{F}(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{D}(\mathscr{C}) F(C)⊆D(C)。
证明 D ( C ) ⊆ F ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{F}(\mathscr{C}) D(C)⊆F(C)：
-
F ( C ) \mathscr{F}(\mathscr{C}) F(C) 是 C \mathscr{C} C 上的最小集代数，这意味着它包含 C \mathscr{C} C 并且对于任意的 A , B ∈ F ( C ) A, B \in \mathscr{F}(\mathscr{C}) A,B∈F(C)，有 A ∪ B , A ∩ B , A − B ∈ F ( C ) A \cup B, A \cap B, A - B \in \mathscr{F}(\mathscr{C}) A∪B,A∩B,A−B∈F(C)。
-
显然， F ( C ) \mathscr{F}(\mathscr{C}) F(C) 满足 d d d-系的三个条件，则 F ( C ) \mathscr{F}(\mathscr{C}) F(C)是 d d d-系。
-
由于 D ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C}) D(C) 是最小的 d d d-系。
-
则， D ( C ) ⊆ F ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{F}(\mathscr{C}) D(C)⊆F(C)。
结论：
由于我们已经证明了 D ( C ) ⊆ F ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{F}(\mathscr{C}) D(C)⊆F(C) 和 F ( C ) ⊆ D ( C ) \mathscr{F}(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{D}(\mathscr{C}) F(C)⊆D(C)，我们可以得出结论：
D ( C ) = F ( C ) \mathscr{D}(\mathscr{C}) = \mathscr{F}(\mathscr{C}) D(C)=F(C)
这意味着 π \pi π-系上的最小 d d d-系等于 π \pi π-系上的最小集代数。
