当前位置：首页 > news >正文

《征服数据结构》哈夫曼树(Huffman Tree)

news 来源：原创 2024/9/28 16:44:04

摘要：

1，哈夫曼树的介绍

2，哈夫曼树的构造

3，哈夫曼树带权路径长度计算

4，哈夫曼树的编码

5，哈夫曼树的解码

1，哈夫曼树的介绍

哈夫曼树(Huffman Tree)也叫霍夫曼树，或者赫夫曼树，又称为最优树，是因为它是一种带权路径长度最短的二叉树。在学习哈夫曼树之前我们先来了解一些和哈夫曼树相关的概念：

路径：从任一个节点往下到达其它节点之间的通路。

路径长度：路径中线段的个数。

节点的权：节点的值。

节点的带权路径长度：从根节点到该节点之间的路径长度与该节点权的乘积。

树的带权路径长度：所有叶子节点的带权路径长度之和。

在讲解哈夫曼树之前我们来看这样一个问题，假如老师根据学生的成绩给学生进行评级，有下面几个等级：

String level(int score) {if (score < 60) return "不及格";else if (score < 70) return "及格";else if (score < 80) return "中等";else if (score < 90) return "良好";else return "优秀";
}

上面的分支语句整理出来像一棵二叉树，如下图所示：

假如同学的成绩分布如下：

90分以上：10%
80到90分：35%
70到80分：45%
60到70分：8%
60分以下：2%

可以看到60分以下的只有2%，但我们每次都是先判断是否小于60，很明显大多数情况下都不小于60，也就是无效的判断。

为了减少判断次数，最有效的判断方式就是占比越高的离根节点越近。可以看到分数在70到80分的占到45%，80到90分的占到35%，这两个加起来占了80%，这种情况下可以像下图中这样查询。

假如把这里的百分比看作叶子节点的权值，用它构造一棵二叉树，这棵二叉树可以有多种，其中带权路径长度最小的就是最优树，也是哈夫曼树。

哈夫曼树就是给定 n 个权值作为叶子节点，构造一棵二叉树，并且该树的带权路径长度达到最小。

树的带权路径长度 WPL(Weighted Path Length of Tree) 记为 WPL=(W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln) ，其中 W 表示节点的权值， L 表示从根节点到该节点的路径长度。

要想让树的带权路径长度最小，权值越大的节点离根节点越近。如下图所示，是用权值为 9,3,2,8 分别构造的两棵树，很明显左边树的带权路径长度比右边树的带权路径长度要小。

2，哈夫曼树的构造

哈夫曼树构造的原则是权值越大离根节点越近，使用的是贪心算法，步骤如下：

1. 用给定的 n 个权值创建 n 棵只有一个节点的树，把它们添加到集合 S 中。

2. 每次从集合 S 中取出两个权值最小的树，让它们组成一棵新的二叉树，新树的权值为它的两棵子树的权值之和，然后把这棵新的树添加到集合 S 中。

3. 重复步骤 2 ，直到集合中只有一棵树为止，这棵树就是哈夫曼树。

如上图所示，因为每次都是选择两棵子树合并成一棵，所以哈夫曼树只有度为 0 和 2 的节点，没有度为 1 的节点，也就是说哈夫曼树中每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点，不可能只有一个子节点。

在二叉树中，度为 2 的节点贡献两条边，度为 1 的节点贡献一条边，度为 0 的节点不贡献任何边。在二叉树中除了根节点外，每一个节点都有一个父节点指向它，所以在任何二叉树中节点的数量等于边的数量加 1 。

假如哈夫曼树中，度为 0 (叶子节点)的节点有 n 个，度为 2 的节点有 m 个，我们可以得出边的数量是 2m ，总的节点是 m+n，根据 m+n=2m+1，可以得出 m=n-1，总的节点数就是 2n-1，所以我们可以得出一棵有 n 个叶子节点的哈夫曼树总共有 2n-1 个节点。

每次从集合中取出权值最小的两棵树，这里的集合我们可以使用最小堆，来看下代码。

Java 代码：

// 哈夫曼树的节点类。
public class HNode {// 节点对应的字符，只有叶子节点有，在编码和解码的时候会用到。private Character ch;private int weight;// 权值。private HNode left;// 左子树。private HNode right;// 右子树。private int deep;// 路径长度，也是节点的深度。public HNode(int weight) {this.weight = weight;}public HNode(HNode left, HNode right, int weight) {this.left = left;this.right = right;this.weight = weight;}
}// 构建哈夫曼树
public HNode createTree(int[] nums) {// 优先队列，这里使用最小堆PriorityQueue<HNode> pq = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(o -> o.weight));// 用数字创建只有一个节点的树并全部添加到堆中。for (int num : nums)pq.offer(new HNode(num));while (pq.size() > 1) {// 大于 1 就合并。HNode left = pq.poll();// 出队。HNode right = pq.poll();// 两棵子树合并成一棵。HNode parent = new HNode(left, right, left.weight + right.weight);// 把合并之后的子树添加到队列中。pq.add(parent);}return pq.poll();// 最后一个就是构造成的哈夫曼树。
}

C++ 代码：

struct HNode {// 哈夫曼树的节点类。// 节点对应的字符，只有叶子节点有，在编码和解码的时候会用到。char ch;int weight = 0;// 权值。HNode *left = nullptr;// 左子树。HNode *right = nullptr;// 右子树。int deep = 0;// 路径长度，也是节点的深度。HNode(int weight) : weight(weight) {}HNode(HNode *left, HNode *right, int weight) : left(left), right(right), weight(weight) {}
};// 构建哈夫曼树
HNode *createTree(vector<int> &nums) {auto cmp = [](HNode *a, HNode *b) { return a->weight > b->weight; };// 优先队列，这里使用最小堆priority_queue<HNode *, vector<HNode *>, decltype(cmp)> pq(cmp);// 创建节点并全部添加到堆中。for (int num: nums)pq.push(new HNode(num));while (pq.size() > 1) {// 大于 1 就合并。HNode *left = pq.top();pq.pop();// 出队。HNode *right = pq.top();pq.pop();// 出队。// 两棵子树合并成一棵。auto *parent = new HNode(left, right, left->weight + right->weight);// 把合并之后的子树添加到队列中。pq.push(parent);}return pq.top();// 最后一个就是构造成的哈夫曼树。
}

3，哈夫曼树带权路径长度计算