多元函数微分学基础题
这是基础题！！原则上必须要在第一轮初学并做完课后习题之后再做这个基础题，不能有错误（马虎大意除外）或无法解答。如有错误，该单元需要重学！！
多元函数微分学填空题
一、填空题
- 如果函数 z = f(x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数存在，则该偏导数的几何意义是 _____ 。
- 函数 f(x, y) = x^2 + y^2 的等位线是一系列 _____ 。
- 若 lim(x,y)→(0,0) f(x, y) 存在，则对于任意趋近于 (0, 0) 的路径，f(x, y) 的值都 _____ 。
- 如果 lim(x,y)→(a,b) f(x, y) 沿着两条不同的路径得到的极限值不同，则可以断定 _____ 。
- 如果函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处二阶混合偏导数 fxy 和 fyx 都 _____ ，则 fxy(a, b) = fyx(a, b)。
- z = f(x, y) 的全微分 dz = _____ dx + _____ dy 。
- 函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处沿方向 l 的方向导数等于 _____ 与 _____ 的点积。
- 函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处变化率最大的方向是 _____ 的方向。
- 函数 f(x, y) 的等位线 f(x, y) = c 在点 (x0, y0) 处的切线斜率为 _____ 。
- 等位面 f(x, y, z) = c 在点 (x0, y0, z0) 处的法向量是 _____ 。
- 函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处的线性化函数 L(x, y) = _____ 。
- 如果点 (a, b) 是函数 f(x, y) 的极值点，则必有 fx(a, b) = _____ 且 fy(a, b) = _____ 。
- 若函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处的 Hessian 矩阵正定，则 (a, b) 是函数 f(x, y) 的 _____ 点。
二、图像绘制题
- 绘制函数 z = x^2 - y^2 的图像，并说明其图形特征。
- 绘制函数 f(x, y) = √(x^2 + y^2) 在点 (1, 1) 处的梯度向量。
- 已知函数 z = f(x, y) 的等位线如下图所示，请在图中标出函数在点 A 处的梯度方向。
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答案
一、填空题答案
- 曲面 z = f(x, y) 在点 (x0, y0, f(x0, y0)) 处沿 x 轴方向的切线斜率.
- 以原点为圆心的同心圆。
- 相等。
- lim(x,y)→(a,b) f(x, y) 不存在。
- 连续。
- ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。
- 梯度向量, 方向 l 的单位向量。
- 梯度。
- -fx(x0, y0) / fy(x0, y0)。
- (fx(x0, y0, z0), fy(x0, y0, z0), fz(x0, y0, z0))。
- f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)。
- 0, 0。
- 极小值。
二、图像绘制题答案
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** 图形特征：该图形为马鞍面，在 x 轴方向开口向上，在 y 轴方向开口向下。 - **
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** 梯度方向垂直于等位线，指向函数值增大的方向。