BCJR算法——卷积码的最大后验译码
定义：输入序列为
其中每比特
，同时相应的输出序列为
其中每一码字
的长度为n，定义在i时刻的编码器的状态为
，对于
时刻里有
表示输出码字和卷积码第i时刻的输入和第i-1时刻的状态有关（包括寄存器和输出部分），
表示状态转变和输入的关系。
编码器的的状态
表示一系列在一个状态集合。
假设接收端接收到的为,第i时刻的输入根据最大后验准则：
表示一个状态对，每个状态对应一个
或者
，把所有输入对应的状态对记为
，同理。最后一个等号表示输入为输入的每个比特转换成所有的状态对来描述。
定义：
接收序列重写为
对于后验概率求和中的一项有
前三个等号是有条件概率公式，最后一个等号是有Trellis图的马尔科夫性质。
定义：
由此可以将上述式子重写为：
MAP的结果重写为
的前向递归性
即
可以由之前的时刻的表示。
第三个等号利用马尔科夫性质。
假设初始时刻的输入为全0状态，则有：
的后向递归性
即
可以由之后的结果递归计算得到。
证明
第一个等号为全概率公式，第三个等号为马尔科夫性质。
假设Trellis图最后停止在全零状态。
的计算
对应输出码字
，同时在i-1时刻状态为
的条件下第i时刻状态为
的概率等效与第i时刻的输入为
的概率。
定义L值（最大后验准则度量）：
判决准则：
在AWGN信道
，的计算如下
例子：
BPSK，码字
，接受矢量
s代表系统位，p代表校验位， 和 对应的输出值
是和最大后验中的无关项（计算L值的时候会被消掉）。
L值的计算
系统位直接对应输入码字，校验位要根据具体卷积译码器