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Bzoj5296: [Cqoi2018]破解D-H协议

news 来源：原创 2024/5/2 15:49:14

破解D-H协议

Description

Diffie-Hellman密钥交换协议是一种简单有效的密钥交换方法。它可以让通讯双方在没有事先约定密钥（密码）的情况下

通过不安全的信道（可能被窃听）建立一个安全的密钥K，用于加密之后的通讯内容。

假定通讯双方名为Alice和Bob，协议的工作过程描述如下（其中mod表示取模运算）：

1．协议规定一个固定的质数P，以及模P的一个原根g。P和g的数值都是公开的，无需保密。

2．Alice生成一个随机数a，并计算A=g^a mod P，将A通过不安全信道发送给Bob。

3．Bob生成一个随机数b，并计算B=g^b mod P，将B通过不安全信道发送给Alice。

4．Bob根据收到的A计算出K=A^b mod P，而Alice根据收到的B计算出K=B^a mod P。

5．双方得到了相同的K，即g^(a*b) mod P。K可以用于之后通讯的加密密钥。

可见，这个过程中可能被窃听的只有A、B，而a、b、K是保密的。并且根据A、B、P、g这4个数，不能轻易计算出

K，因此K可以作为一个安全的密钥。

当然安全是相对的，该协议的安全性取决于数值的大小，通常a、b、P都选取数百位以上的大整数以避免被破解。然而如

果Alice和Bob编程时偷懒，为了避免实现大数运算，选择的数值都小于2^31，那么破解他们的密钥就比较容易了。

Input

输入文件第一行包含两个空格分开的正整数g和P。

第二行为一个正整数n，表示Alice和Bob共进行了n次连接（即运行了n次协议）。

接下来n行，每行包含两个空格分开的正整数A和B，表示某次连接中，被窃听的A、B数值。

2≤A，B<P<231，2≤g<20， n<=20

Output

输出包含n行，每行1个正整数K，为每次连接你破解得到的密钥。

Sample Input

3 31
3
27 16
21 3
9 26

Sample Output

4
21
25

题解：g^x = a (mod p), 求出最小的x ,b^x (mod p)就是答案

对于离散对数问题可以用大步小步法

对于p 是质数，令 x = A*ceil(sqrt(p)) + B, g^(A*ceil(sqrt(p)) + B) = a (mod p)

因为gcd(g,p) = 1,所以 g^(A*ceil(sqrt(p))) = a*g^(-B) (% p) ( 0 <= A <= ceil(sqrt(p)), 0 <= B <= ceil(sqrt(p)) )

即建立hash 存储右边，枚举左边，判断是否在hash中存在

但这样需要求逆元，可以优化令 x = A*ceil(sqrt(p)) - B ( 1 <= A <= ceil(sqrt(p)) + 1 , 0 <= B < ceil(sqrt(p)) )

g^(A*ceil(sqrt(p))) = a*g^B (% p) 这样的话，就可以解决逆元

但对于 p 不是质数的情况，则需要扩展的大步小步法，这里就不介绍了，发一个链接，讲解很好的博客

bsgs code:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod)
{
    ll ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ans = (ans*a)%mod;
        a = (a*a)%mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll bsgs(ll a,ll b,ll p)
{
    map<ll,int>Hash;
    int m = ceil(sqrt(p));
    ll v = pow_mod(a, m, p),k = v;
    for(int i = 0;i < m;i++)
    {
        if(!Hash.count(b))    Hash[b] = i;
        b = (b*a)%p;

    }
    for(int i = 1; i <= m+1;i++)
    {
        if(Hash.count(k))
            return i*m - Hash[k];
        k = (k*v)%p;
    }
    return -1;
}
int main(){
    ll g,n,a,b,p;
    scanf("%lld%lld%lld",&g,&p,&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        ll ans = bsgs(g,a,p);
        if(ans == -1)   continue;
        printf("%lld\n",pow_mod(b,ans,p));
    }
}

exbsgs code:

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
typedef long long ll;
ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod = LONG_LONG_MAX)
{
    ll ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans = (ans*a)%mod;
        a = (a*a)%mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
int gcd(int a,int b){  return b?gcd(b,a%b):a;}
int bsgs(int a, int b, int p)
{
    int cnt = 0;
    ll t = 1;
    a %= p, b %= p;
    map<ll, int>H;
    if(b == 1) return 0;
    for(int g = gcd(a, p); g != 1; g = gcd(a, p))
    {
        if(b % g) return -1;
        p /= g;
        b /= g;
        t = t * a / g % p;
        ++cnt;
        if(b == t) return cnt;
    }
    int m = int(sqrt(p) + 1);
    ll base = b;
    for(int i = 0; i < m; ++i)
    {
        H[base] = i;
        base = base * a % p;
    }
    base = pow_mod(a, m, p);
    ll now = t;
    for(int i = 1; i <= m + 1; ++i)
    {
        now = now * base % p;
        if(H.count(now))
            return i * m - H[now] + cnt;
    }
    return -1;
}
int main()
{
    int g,p;
    int t,a,b;
    scanf("%d%d%d",&g,&p,&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        int ans = bsgs(g,a,p);
        if(ans == -1)   continue;
        //cout<<ans<<endl;
        printf("%lld\n",pow_mod(1ll*b,1ll*ans,1ll*p));
    }
    return 0;
}