平衡的意义
之前学习了二叉搜索树，知道这种结构基于折半的原理，在查找的时候效率很高，理想的情况下时间复杂度为 O(log n) ，那不理想的情况又是怎样的呢？举个例子，根据二叉搜索树的特性，插入 { 6，5，4，3，2，1 } 这组数据，最终生成的二叉树如下：
要判断这棵树中是否存在 1 。 1 处在这棵树的最底部，并且这个棵树呈现出一边倒的形状，导致找 1 时遍历了所有的节点，这种情况下时间复杂度为 O(n) 。可见一旦二叉搜索树失去了平衡也就失去了效率，理想的二叉搜索树，是树的节点“均匀”分布在根节点两侧，才能满足时间复杂度 O(log n) 。
平衡的定义
怎样才算“均匀”分布呢？对于树中的节点，不能只让左或右孩子独得恩宠，雨露均沾才是王道。 Wikipedia 给出了定义：
二叉搜索树中，对于任意节点，
右子树与左子树高度差不超过 1 ，则认为这棵树是平衡的。
这个定义有个官方的名字 平衡因子（Balance factor），平衡因子只可能是「1，0，-1」，注意是右子树的高度 - 左子树的高度。有了这个规定，失衡的现象就能有所缓解了。俗话说不患贫而患不均，虽然「1，-1」目前是可接受的，却为将来的失衡埋下伏笔。这种导致失衡的隐患 Wikipedia 给出了定义：
平衡因子为 1 则该节点
右重（right-heavy），平衡因子为 -1 则该节点左重（left-heavy）
4 种失衡
上面说到可能导致失衡的隐患，分别是右重和左重。你可能在很多地方看到 LL（左左）、RR（右右）、LR（左右）、RL（右左），搞得跟秘籍键似的这 TM 到底指的是啥？其实就是下面的 4 种失衡情况：
LL（左左）：2 是 3 的 左子树，2 左重；
RR（右右）：2 是 1 的右子树，2 右重
LR（左右）：1 是 3 的左子树，1 右重
RL（右左）：3 是 1 的右子树，3 左重
树的旋转
“症状”有了，就需要对症下药了。正常的思路是，哪边高了就降低其高度，但是要注意二叉搜索树中的节点是有顺序的（左<中<右），如何降低高度也是有讲究的。这里就引入一个很重要的操作——旋转，旋转能满足只改变树的结构，又符合节点的排列顺序。你可能在很多地方看到，为了保证树的平衡，会有左旋或右旋的操作，这里的左旋、右旋具体指的又是啥？ Wikipedia 上的介绍
当说到旋转时，是指对某个节点旋转（上图对 Q 右旋，对 P 左旋），仔细观察发现，右旋使得 Q 的左孩子 P 取代了自己原来的位置，左旋使得 P 的右孩子 Q 取代了自己原来的位置，记住这一点很重要哈。
上面动图直观的感受就是右旋后右子树高度升高，左子树高度降低；左旋后左子树升高，右子树高度降低；除此之外，旋转的过程中也涉及到节点的交换
从上图可以看到，当简单地说右旋，其实展开来说是指：
- 根节点 5 右旋，首先将左子树 3 的右孩子 4 作为此时根节点 5 的左孩子；
- 再将 5 这棵树作为新根节点 3 的右子树；
左旋反之；因为这样很啰嗦，平时不会这么说，但这背后的原理得知道。此外旋转后节点还是符合大小排列顺序，这正是我们所希望的。
AVL 树
说了半天，这 AVL 树是个啥？这个有点“黄”的名字来源于它的发明者 G. M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis，名字不重要，功能才重要，它能在失衡的情况下通过旋转重新实现平衡，因此它的时间复杂度为 O(log n)。上面介绍了 4 种失衡的情况，现在分别介绍 AVL 树是如何做到重新平衡的：
LL（左左）: 假设要在下面这棵树中插入 3
9
/ \
7 10
/ \
6 8
复制代码首先要做的是先确定各个节点的平衡因子：
9(-1)
/ \
7(0) 10(0)
/ \
6(0) 8(0)
复制代码插入 3 后：
9(-1?)
/ \
7 (0?) 10(0)
/ \
6(-1) 8(0)
/
3(0)
复制代码注意这里对可能影响到的路径后面加了个 ？，是因为此时他们的平衡因子还不确定，需要重新计算，由于 7 的左子树高度加 1 ，7 的平衡因子也变了：
9(-1?)
/ \
7(-1) 10(0)
/ \
6(-1) 8(0)
/
3(0)
复制代码最后，相应的 9 的平衡因子也变了：
9(-2)
/ \
7(-1) 10(0)
/ \
6(-1) 8(0)
/
3(0)
复制代码根据上面学的内容，这种左重的情况右旋后可以达到平衡，找到负载因子为 -2 的节点（9）右旋，剩下的就是上面已经介绍过的，节点交换什么的。如下：
RR（右右）: 假设要在下面这棵树种插入 12
8
/ \
7 10
/ \
9 11
复制代码先确定各个节点的平衡因子：
8 (+1)
/ \
7(0) 10(0)
/ \
9(0) 11(0)
复制代码插入 12 后，直接跳到最后一步：
8(+2)
/ \
7(0) 10(+1)
/ \
9(0) 11(+1)
\
12(0)
复制代码这种右重的情况左旋后可以达到平衡，找到负载因子为 +2 的节点（8）左旋：
LR（左右）：假设要在下面这棵树中插入 9
10
/
7
复制代码先确定各个节点的平衡因子：
10(-1)
/
7(0)
复制代码插入 9 后，直接跳到最后一步：
10(-2)
/
7(+1)
\
9(0)
复制代码按照之前的套路，这种左重的情况需要右旋，找到负载因子为 -2 的节点（10）右旋，结果咋样呢？
7(+2)
\
10(-1)
/
9(0)
复制代码发现套路不好使了，这里就要用到两次旋转，第一次将旋转将 LR（左右）变成熟悉的 LL（左左），第二次旋转就可以用之前的套路了
10 10 9
/ / / \
7 (将 7 左旋) ---> 9 (将 10 右旋) ---> 7 10
\ /
9 7
复制代码RL（右左）：假设要在下面这棵树中插入 9
8
\
10
复制代码先确定各个节点的平衡因子：
8(+1)
\
10(0)
复制代码插入 9 后，直接跳到最后一步：
8(+2)
\
10(-1)
/
9(0)
复制代码同样要用到两次旋转，第一次将旋转将RL（右左）变成熟悉的 RR（右右），第二次旋转就可以用之前的套路了
8 8 9
\ \ / \
10 (将 10 右旋) ---> 9 (将 8 左旋) ---> 8 10
/ \
9 10
复制代码Enjoy –☺