图像检索(2):均值聚类-构建BoF

在图像检索时，通常首先提取图像的局部特征，这些局部特征通常有很高的维度（例如，sift是128维），有很多的冗余信息，直接利用局部特征进行检索，效率和准确度上都不是很好。这就需要重新对提取到的局部特征进行编码，以便于匹配检索。
常用的局部特征编码方法有三种：

• BoF
• VLAD
• FV

本文主要介绍基于k-means聚类算法的BoF的实现。

• BoF的原理
• k均值聚类概述
• 使用OpenCV实现的BoF

BoF

该方法源自于文本处理的词袋模型。Bag-of-words model (BoW model) 最早出现在NLP和IR领域. 该模型忽略掉文本的语法和语序, 用一组无序的单词(words)来表达一段文字或一个文档. 近年来, BoW模型被广泛应用于计算机视觉中. 与应用于文本的BoW类比, 图像的特征(feature)被当作单词(Word).

例如下面的句子：
John likes to watch movies. Mary likes too. John also likes to watch football games.
就可以构建一个词典

{"John": 1, "likes": 2, "to": 3, "watch": 4, "movies": 5, "also": 6, "football": 7, "games": 8, "Mary": 9, "too": 10}

该字典中包含10个单词, 每个单词有唯一索引, 注意它们的顺序和出现在句子中的顺序没有关联. 根据这个字典, 我们能将上述两句话重新表达为下述两个向量:

[1, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1]  [1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0]

这两个向量共包含10个元素, 其中第i个元素表示字典中第i个单词在句子中出现的次数。
统计词频的时候有两种方法：

• 词集模型（set of words model) 将每个词出现与否作为特征，忽略词出现的次数，这种模型得到的向量只有0和1两个值；
• 词袋模型（bag of words model）要统计词出现的次数。

特征词袋(BoF，Bag Of Feature)借鉴文本处理的词袋（BoW，Bag Of Bag)算法，将图像表示成视觉关键词的统计直方图。就像上面对文本的处理一样，提取文本中出现单词组成词汇表，这里关键是得到图像库的“词汇表”。为了得到图像库的“词汇表",通常对提取到的图像特征进行聚类，得到一定个数的簇。这些聚类得到的簇，就是图像的”词汇“，可以称为视觉词（Visual Word）。聚类形成的簇，可以使用聚类中心来描述，所以，视觉词指的是图像的局部区域特征（如纹理，特征点）经过聚类形成的聚类中心。

有了视觉词的集合后，就可以将一幅图像表示为\(K\)维的向量（\(K\)为聚类中心的个数，也就是视觉词的个数），向量的每个分量表示某个视觉词在图像中出现的次数。

构建图像的BoF的步骤如下：以SIFT特征为例

1. SIFT特征提取 提取训练集中所有图像的SIFT特征，设有\(M\)幅图像，共得到\(N\)个SIFT特征。
2. 构建视觉词汇表 对提取到的\(N\)个SIFT特征进行聚类，得到\(K\)个聚类中心，组成图像的视觉词汇表。
3. 图像的视觉词向量表示，统计每幅图像中视觉词汇的出现的次数，得到图像的特征向量。在检索时，该特征向量就代表该幅图像。统计时，计算图像中提取到的SIFT特征点到各个视觉词（聚类中心）的距离，将其归类到聚类最近的视觉词中。

所以聚类在构建BoF是很重要的一步，接下来简单的介绍下聚类的基本知识以及最常用的聚类算法k-means算法。

聚类概述

聚类(Clustering)是一种无监督学习算法，其目的是将数据集中的样本划分为若干个不相交的子集，每个子集称为一个簇(Cluster)。聚类的时候并不关心某一类是什么，只根据数据的相似性，将数据划分到不同的组中。每个组内的成员具有相似的性质。

聚类算法说白了就是给你一大堆点的坐标（维度可以是很高），然后通过一个向量的相似性准则（通常是距离，比如欧拉距离），然后把相近的点放在一个集合里面，归为一类。

更正式的说，假设有样本集 \(D = \{x_1,x_2,\dots,x_m\}\)有\(m\)个无标记的样本，每个样本可以使用一个\(n\)维特征向量表示：\(x_i = (x_{i1};x_{i2};\dots;x_{in})\),根据相似的准则，将集合\(D\)划分为\(k\)个不相交的簇\(\{C_l|l = 1,2,\dots,k\}\)。每个簇可以用其聚类中心来描述\(\lambda_l = (x_{l1},x_{l2},\dots,x_{ln}),l = 1,2,\dots,k\).

相似性度量（距离计算）

两个向量的相似性，通常可以使用距离度量，距离越大，相似性越小；距离越小，相似性越大。给定两个样本\(x = (x_1,x_2,\dots,x_n), y = (y_1,y_x,\dots,y_n)\)，常用的距离计算有：

• 欧氏距离 Euclidean distance，这个应该是最有名的了。\(dist = \|x_i-y_i\|_2 \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i - y_i)^2}\),欧氏距离也是一种\(l_2\)范数。
• 曼哈顿距离 Manhattan distance,也被称为城市街区距离。\(dist = \|x_i-y_i\|_1= \sum_{i=1}^n\|x_i -y_i|\),曼哈顿距离也是\(l_1\)范数。
• 切比雪夫距离 Chebyshev distance,\(dist = max(|x_i - y_i|)\)

以上三种距离可以统称为闵可夫斯基距离 Minkowski distance,\(dist = (\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p)^{\frac{1}{p}}\)

• \(p=1\)为曼哈顿距离
• \(p=2\)为欧氏距离
• \(p\to\infty\)为切比雪夫距离。

当然，度量两个向量相似性的方法还有很多种，这里只列举了最常用的，在均值聚类算法中经常的使用的是欧氏距离和曼哈顿距离。

k-means

聚类算法可以分为三类：

• 原型聚类，此类算法假设聚类结构能够通过一组原型描述，这里原型指的是样本空间中具有代表性的点。
• 密度距离，该类算法假设聚类结构能够通过样本分布的紧密程度来确定。
• 层次聚类，在不同的层次对数据集进行划分，从而形成树形的聚结构。

\(k\)均值聚类是原型聚类的一种，它使用簇内的均值向量来描述每个簇，假设给定的样本集\(D = \{x_1,x_2,\dots,x_m\}\),得到\(k\)个簇，\(C = {C_1,C_2,\dots,C_k}\)，\(k\)means算法的目标是使，簇内样本到簇的质心（簇内的均值向量）距离最小
\[ E = \sum_{i=1}^k\sum_{x\in C_i}\|x-u_i\|_2^2,u_i = \frac{1}{|C_i|}\sum x\in C_i \]
\(u_i\)是簇\(C_i\)的均值向量。\(E\)就表示了簇内样本围绕着均值向量（簇的中心）的紧密程度，\(E\)越小则簇内样本相似度越高。
要使得\(E\)的值最小，是一个NP难题，因此均值聚类使用贪心策略，通过迭代的方法来求解最优解。

Lioyd's Algorithm

均值聚类算法多数是基于Lioyd's Algorithm，其流程很简单。首先，随机的确定\(k\)个初始点作为各个簇的质心。然后将数据集中每个点分配到与其最近的质心代表的簇中。然后更新各个簇的质心为该簇所有向量的均值。具体表示如下：

创建k个点作为起始质心（通常随机选择）
当任意一个点所在的簇发生变化时
    对数据集中的每个数据点
        对每个质心
            计算质心与数据点之间的距离
        将数据点分配到与其最近的簇中
    对每个簇，计算簇中所有点的均值作为新的质心

k-means算法有两个输入参数簇的个数\(k\)以及初始的簇的质心

• 簇的个数\(k\)通常可以使用“肘点法”，通过最小化\(E\)来确定
• 对于初始的质心的选择，可以随机确定或者使用k-means++来确定

vlfeat以及OpenCV实现

vlfeat

vlfeat实现了三种的k-means算法：

• Lioyd's Algorithm
• Elkan's Algorithm 使用三角形不等式对Lioyd算法的一种优化，提高了其计算的速度，本质上两者是一样的。
• ANN Algorithm 适用于大规模的数据集（百万级）簇的个数成百上千

可以使用如下代码来初始化k-means算法：

VlKMeans * fkmeans = vl_kmeans_new(VL_TYPE_FLOAT, VlDistanceL2);
vl_kmeans_set_algorithm(fkmeans, VlKMeansElkan);
vl_kmeans_init_centers_with_rand_data(fkmeans,data,data_dim,data_num,k);

首先设置聚类时的数据类型为float，相似性度量使用l2距离也就是欧氏距离；接着设置使用的算法为是Elkan，并且使用随机的方法确定k个簇的中心。
初始化完成后，使用如下代码进行聚类

vl_kmeans_cluster(fkmeans, data, data_dim, data_num, k);  

需要指定数据，数据的维度，数据的个数以及簇的中心，这里需要注意的是数据的维度。聚类数据的维度指的是，一个数据有几个分量组成。例如，

• 一幅灰度图像，其聚类的对象是像素的像素值。灰度图，一个像素只有一个分量，则灰度图聚类数据的维度就是1维。
• RGB图像，一个像素有RGB三个分量组成，则其聚类数据的维度就是3维。
• sift描述子，一个sift描述子是128维的向量，则其聚类数据的维度就是128维。

OpenCV

相较于vlfeat，OpenCV中的kmeans则更易于调用。

double cv::kmeans(InputArray data,
    int     K,
    InputOutputArray    bestLabels,
    TermCriteria    criteria,
    int     attempts,
    int     flags,
    OutputArray     centers = noArray() 
)

• data 数据集，每一行代表数据集中的一个样本
• k 聚类形成簇的个数
• bestLabels 数据集中每个样本在簇的index
• criteria 迭代终止的条件。
• attempts 算法执行的次数
• flags 初始质心的指定方法，KMEANS_RANDOM_CENTERS 随机指定；KMEANS_PP_CENTERSk-means++；KMEANS_USE_INITIAL_LABELS算法第一次执行时，使用用户提供的初始质心；第二次及以后的执行使用随机或者半随机的方式初始化质心

在OpenCV中TermCriteria表示迭代算法结束的两种条件：

• 达到了迭代的次数
• 迭代产生的结果达到了指定的精度

该类的初始化需要三个参数

• type 有三种选择COUNT, EPS or COUNT + EPS
• maxCount 最大的迭代次数
• epsilon 精度

构建BoF

在上一篇文章图像检索(1): 再论SIFT-基于vlfeat实现中实现了SIFT特征点的提取，这里再对提取到的特征点进行聚类，构建图像集的视觉词汇表。

基于SIFT特征构建BoF的步骤：

• 提取sift特征点
• 聚类生成视觉词汇表 Visual Vocabulary
• 统计视觉词在每张图像中出现的频率，形成BoF

基于OpenCV的实现如下：

void bof_encode(const string &image_folder,int k,vector<Mat> &bof) {

    vector<string> image_file_list;
    get_file_name_list(image_folder,image_file_list);

    // 提取图像的sift
    vector<Mat> descriptor_list;
    Ptr<xfeatures2d::SIFT> sift = xfeatures2d::SIFT::create();
    for(const string & file: image_file_list){
        cout << "Extracte sift feature #" << file << endl;
        vector<KeyPoint> kpts;
        Mat des;
        Mat img = imread(file);
        CV_Assert(!img.empty());
        sift->detectAndCompute(img,noArray(),kpts,des);
        descriptor_list.push_back(des);
    }

    // 将各个图像的sift特征组合到一起
    Mat descriptor_stack;
    vconcat(descriptor_list,descriptor_stack);

    // 聚类
    Mat cluster_centers;
    vector<int> labels;
    kmeans(descriptor_stack,k,labels,TermCriteria(TermCriteria::EPS + TermCriteria::COUNT, 
        10, 1.0),3, KMEANS_RANDOM_CENTERS,cluster_centers);

    // labels已经得到了每个样本（特征点）所属的簇，需要进行统计得到每一张图像的BoF
    int index = 0;
    for(Mat img : descriptor_list){
        // For all keypoints of each image 
        auto cluster = new int[k];
        for(int i = 0; i < img.rows; i ++){
            cluster[labels[index]] ++;
            index ++;
        }

        Mat mat(1,k,CV_32S);
        auto ptr = mat.ptr<int>(0);
        mempcpy(ptr,cluster,sizeof(int) * k);

        bof.push_back(mat);
        delete cluster;
    }
}

提取特征点后，需要将得到的sift的特征描述子组合到一起，进行聚类，需要用到函数vconcat,该函数在y方向上将Mat组合在一起，需要各个Mat的列是一样，组合得到的Mat仍然有相同的列；同样的函数hconcat在水平方向上组合Mat，组合得到的Mat的行保持不变。

在聚类后可以得到所有图像的各个sift特征所属的簇，上述代码的：

    // labels已经得到了每个样本（特征点）所属的簇，需要进行统计得到每一张图像的BoF
    int index = 0;
    for(Mat img : descriptor_list){
        // For all keypoints of each image 
        auto cluster = new int[k];
        for(int i = 0; i < img.rows; i ++){
            cluster[labels[index]] ++;
            index ++;
        }

        Mat mat(1,k,CV_32S);
        auto ptr = mat.ptr<int>(0);
        mempcpy(ptr,cluster,sizeof(int) * k);

        bof.push_back(mat);
        delete cluster;
    }

就是统计每张图像中,各个Visual Word的个数。这样一幅图像就可以使用一个K维的向量表示。