BZOJ 1565 植物大战僵尸（最大权闭合图）

题目链接：http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=1565

题意：植物大战僵尸，一个n*m的格子，每 个格子里有一个植物，每个植物有两个属性：（1）价值；（2）保护集合，也就是这个植物可以保护矩阵中的某些格子。现在你是僵尸，你每次只能从(i,m) 格子进入，从右向左进攻。若一个格子是被保护的那么你是不能进入的。每进入一个格子则吃掉该格子的植物并得到其价值（价值有可能是负的)。注意，每次在进 入一行后还可以再退到最右侧然后再换一行吃别的。问最大价值是多少？

思路：（1）首先，我们说下啥是最大权闭合 图。在一个有向图中，每个点集有一个权值。要求选择一个点集使得权值最大。选出的点满足，对于任何一条边<u,v>，若选择了u则必须选择 v。满足这个条件的顶点集叫做最大权闭合子图。在下图中，最大的权闭合子图为{3,4,5}，价值为4。

（2）如何求最大权闭合子图？构图方法：增 加原点s和汇点t。原图中的权值x大于0的点，连边<s,i,x>，权值为负的点连边<i,t,-x>。原图中的边权值INF。 上图改造后得到的是下面的图。设新图中与s相连的点的权值和为sum，新图的最小割即最大流为w，则答案为sum-w。下图的sum=12,w=8。

（3）最大权闭合图强调的是点之间的依赖关 系，即选择某个点必须选择另外某些点。在本题中，恰有这样的性质。比如，僵尸必须从右向左，因此，选择左侧的点，就必须选择右侧的点；某个格子被另外的一 些格子保护，那么要选择这个格子，必须要先选择另外的那些格子。我们正好可以用这个性质建立图进行求解。另外，在本题中有可能存在环，即比如同一行右侧的 点被左侧的点保护，那么是无法吃掉这些位置的植物的。因此，首先拓扑排序一次，标记哪些格子不在环中。那么只有这些点是可以到达的。

 

struct node
{
    int v,next,cap;
};


node edges[N*100];
int head[N],e;
int pre[N],curedge[N],h[N],num[N];
int s,t;


void add(int u,int v,int cap)
{
    edges[e].v=v;
    edges[e].cap=cap;
    edges[e].next=head[u];
    head[u]=e++;
}


void Add(int u,int v,int cap)
{
    add(u,v,cap);
    add(v,u,0);
}


int visit[N];

int Maxflow(int s,int t,int n)
{
    clr(h,0); clr(num,0);
    int i;
    FOR0(i,n+1) curedge[i]=head[i];
    int u=s,Min,k,x,ans=0;
    while(h[u]<n)
    {
        if(u==t)
        {
            Min=INF+1;
            for(i=s;i!=t;i=edges[curedge[i]].v)
            {
                x=curedge[i];
                if(edges[x].cap<Min)
                {
                    Min=edges[x].cap;
                    k=i;
                }
            }
            ans+=Min; u=k;
            for(i=s;i!=t;i=edges[curedge[i]].v)
            {
                x=curedge[i];
                edges[x].cap-=Min;
                edges[x^1].cap+=Min;
            }
        }
        for(i=curedge[u];i!=-1;i=edges[i].next)
        {
            if(edges[i].cap>0&&h[u]==h[edges[i].v]+1)
            {
                break;
            }
        }
        if(i!=-1)
        {
            curedge[u]=i;
            pre[edges[i].v]=u;
            u=edges[i].v;
        }
        else
        {
            if(--num[h[u]]==0) break;
            curedge[u]=head[u];
            x=n;
            for(i=head[u];i!=-1;i=edges[i].next)
            {
                k=edges[i].v;
                if(edges[i].cap>0&&h[k]<x) x=h[k];
            }
            h[u]=x+1; num[x+1]++;
            if(u!=s) u=pre[u];
        }
    }
    return ans;
}


int a[55][55],n,m;
vector<int> g[N];
int d[N],p[N],sum;




void build()
{
    sum=0; s=0; t=n*m+1; clr(head,-1); e=0;
    int i,j,x;
    FOR1(i,n*m) if(visit[i]) FOR0(j,SZ(g[i]))
    {
        x=g[i][j];
        if(visit[x]) Add(x,i,INF);
    }
    FOR1(i,n*m) if(visit[i])
    {
        if(p[i]>0) Add(s,i,p[i]),sum+=p[i];
        if(p[i]<0) Add(i,t,-p[i]);
    }
}


int main()
{
    RD(n,m);
    int i,j;
    FOR1(i,n) FOR1(j,m) a[i][j]=(i-1)*m+j;
    FOR1(i,n)
    {
        FOR1(j,m-1)
        {
            g[a[i][j+1]].pb(a[i][j]);
            d[a[i][j]]++;
        }
    }
    int x,r,c;
    FOR1(i,n) FOR1(j,m)
    {
        RD(x); p[a[i][j]]=x;
        RD(x);
        while(x--)
        {
            RD(r,c); r++; c++;
            g[a[i][j]].pb(a[r][c]);
            d[a[r][c]]++;
        }
    }
    queue<int> Q;
    FOR1(i,n*m) if(!d[i]) Q.push(i);
    while(!Q.empty())
    {
        x=Q.front();
        Q.pop();


        visit[x]=1;
        FOR0(i,SZ(g[x]))
        {
            c=g[x][i];
            if(--d[c]==0) Q.push(c);
        }
    }
    build();
    PR(sum-Maxflow(s,t,t+1));
}