5. 设 $A\in M_m$, $B\in M_n$, $C\in M_{m,n}$. 若 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$, 则 $$\bex \sex{\ba{cc} A&C\\ 0&B \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}\mbox{ 相似}. \eex$$
证明: 由 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$ 知 $$\bex AX-XB=C \eex$$ 存在唯一解, 而 $$\bex \sex{\ba{cc} I&X\\ 0&I \ea}^{-1}\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}\sex{\ba{cc} I&X\\ 0&I \ea}=\sex{\ba{cc} A&C\\ 0&B \ea}. \eex$$