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2的幂的合并运算实例

news 来源：原创 2024/5/3 11:12:59

2的幂可以合并，遵守幂运算规则，产生一个新的2的幂。在这些规则下，你可以进行2的幂的乘法，除法，或幂运行，得到另外一个2的幂。你可以组合这些规则来创建一个复杂的表达式，该表达式返回一个2的幂。例如，

幂的运算法则适用于任意进制的基数；二进制也没有不同。但因为我们对2的幂感兴趣，我们将依据2的幂来描述它们。只要我们如此解释过这些规则，你就会明白上面例子背后的数学原理。

基本的2的幂运算规则

下面是基本的2的幂的运算规则，如果你知道2的幂是何物那这些规则你应该很熟悉：

2的幂组合运算规则

下面是2的幂的乘，除，幂运算的组合运算规则：

2的幂的求积规则： $\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{2^a} \cdot {2^b} = 2^{a+b}}}}$

这个规则告诉我们2的幂乘以2的幂结果还是2的幂。只是结果中的指数是乘法中两个2的幂的指数的和。

例如：

$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{2^4} \cdot {2^3} = 2^{7}}}}$
$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{2^{-3}} \cdot {2^6} = 2^{3}}}}$

2的幂的求商规则： $\mbox{\footnotesize{\displaystyle {\frac{2^a}{2^b} = 2^{a-b}}}}$

这个规则告诉我们一个2的幂除以另一个2的幂结果还是2的幂。只是，结果中2的幂的指数是被除数指数与除数指数的差。

例如:

$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {\frac{2^7}{2^{5}} = 2^{2}}}}$
$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {\frac{2^3}{2^{6}} = 2^{-3}}}}$

2的幂的求幂规则: $\mbox{\footnotesize{\displaystyle {\left({2^a}\right)}^{b} = 2^{ab}}}}$

这条规则告诉我们2的幂的幂运算得到的还是一个2的幂。只是，结果中2的幂的指数是给出的两个指数的乘积。

例如:

$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {\left({2^2}\right)}^3 = 2^{6}}}}$
$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {\left({2^8}\right)}^{-1} = 2^{-8}}}}$

2的幂的复合运算规则

除基本的幂运算规则还有两条附加规则：乘法的幂运算和除法的幂运算。对2的幂来说，这些规则变得不那么重要，因为它们能分解成上面的小规则。尽管如此，它们是合法的，在需要的时候可以化简运算。

2的幂乘积的幂运算规则： $\mbox{\footnotesize{\displaystyle {\left({2^a \cdot 2^b}\right)}^{c} = \: 2^{\left(a+b\right)c}}}}$

此规则只是2的幂的求积规则和2的幂的求幂规则的合并。

例如:

$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{\left(2^4 \cdot 2^3\right)}^3 = 2^{21}}}}$
$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{\left({2^{-3}} \cdot {2^6}\right)}^2 = 2^{6}}}}$

2的幂商的幂运算规则： $\mbox{\footnotesize{\displaystyle {\left({\frac{2^a}{2^b}}\right)^c = \: 2^{\left(a-b\right)c}}}}$

此规则只是2的幂的求商运算规则和2的幂的求幂规则的合并。

例如:

$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{\left(\frac{2^7}{2^5}\right)}^3 = \: 2^6}}}$
$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{\left(\frac{2^3}{2^{6}}\right)}^4 = 2^{-12}}}}$

2的幂的任意运算式

你可以利用上面的规则来简化复杂运算式为 $\mbox{\scriptsize{\displaystyle {2^n}}}$ 的形式。回到文章开头的例子：

$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{\left(\frac{2^4 \cdot 2^3}{2^5}\right)}^3}}}$

有多种化简方式。下面是不用任何复合规则的方式：

$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{\left(\frac{2^4 \cdot 2^3}{2^5}\right)}^3 = {\left(\frac{2^7}{2^5}\right)}^3 = \left({2^2}\right)^3 = \: 2^6}}}$

下面使用了复合规则:

$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{\left(\frac{2^4 \cdot 2^3}{2^5}\right)}^3 = {\left(\frac{2^7}{2^5}\right)}^3 = \: 2^6}}}$

下面是不适用复合规则的另一种更长的方式：

$\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{\left(\frac{2^4 \cdot 2^3}{2^5}\right)}^3 = \frac{{\left(2^4 \cdot 2^3\right)}^3}{{\left(2^5\right)}^3} = \frac{2^{21}}{{\left(2^5\right)}^3} = \frac{2^{21}}{2^{15}} = \: 2^6}}}$

2的幂的转换

如果表达式中使用了2的幂的数值形式--例如，用64代替 $\mbox{\scriptsize{\displaystyle {2^6}}}$ — transform them to the form $\mbox{\scriptsize{\displaystyle {2^n}}}$ . 仍遵守上述规则。例如：

$\mbox{\footnotesize{\displaystyle{{\left(\frac{64 \cdot 2^3}{\frac{1}{4}}\right)}^5}\cdot \: 256 = {\left(\frac{{2^6}\cdot{2^3}}{2^{-2}\right)}}^5}\cdot \: 2^8 = {\left(\frac{2^9}{2^{-2}\right)}}^5}\cdot \: 2^8 = 2^{55}\cdot \: 2^8 = 2^{63}}}}$ .

一个可视化例子

你将在下表看到幂运算规则的应用：

一个 4" x 4" x 4" 立方体.

有三种等价的方式求立方体的体积：

长 x 宽 x 高: 4 x 4 x 4 = 64 立方英寸
长 x 宽 x 高: $\mbox{\footnotesize{\displaystyle {2^2}}}$ x $\mbox{\footnotesize{\displaystyle {2^2}}}$ x $\mbox{\footnotesize{\displaystyle {2^2 = 2^6 = }}}$ 64 立方英寸
长的立方: $\mbox{\footnotesize{\displaystyle {{\left(2^2}\right)^3 = 2^6 = }}}$ 64 立方英寸

有三种等价的方式求每一面的面积：

长 x 宽: 4 x 4 = 16 平方英寸
长 x 宽: $\mbox{\footnotesize{\displaystyle {2^2 \cdot 2^2 = 2^4 = }}}$ 16 平方英寸
体积 / 高: $\mbox{\footnotesize{\displaystyle {\frac{2^6}{2^2} = 2^4 = }}}$ 16 平方英寸