两平面平行方向向量关系_[笔记？] 地转偏向力大小及方向的推导
这篇文章主要是整理一下我的胡思乱想。
首先假设地球为球体，只讨论水平（也就是沿切面）运动。
原则上非水平运动可以分为地轴（而不是垂直于切面）与水平两个分量，地轴分量对科里奥利力无影响。这可以由叉积的分配律以及平行向量的叉积为
为了推导，建立右手坐标系。以球心为原点，地轴为
地理上用纬度
根据坐标系的建立方法，可知北纬为正，南纬为负；东经为正，西经为负。这与 GIS 的习惯也是一致的。
于是可以用向量
由最初假定地球为球体，得该点切面的法向量
用
设质点的速度
那么科里奥利力
将科里奥利力分为沿切面的水平地转偏向力
由投影的几何定义得知，
容易知道，
还可以使用代数方法推出。
设
由
这个分解法则还可以进一步推广，将一个向量
现在我们得到
由
平方得
试着将上面的表达式配凑一下。
从而有：
考虑到
地球自转的角速度大小
再来考虑方向。由高中地理知，速度沿切面方向时，水平地转偏向力与速度垂直。下面我们来证明这一点。
速度沿切面方向时，和切面的法向量当然垂直。所以，
综合起来：
证毕。
但是只知道垂直还是没用的，下面我们来讨论具体的方向。
以下「顺时针」「逆时针」都是从上往下看切面而言。
首先计算
判断顺逆时针可以用叉积。但是用
法向量
前两项含有
当
当
这就是高中地理所学到的「南左北右」。
这篇文章原则上到这里就应当结束了。但不妨拓展一下，试试求垂直地转偏向力的大小。
可以发现，这个结果已经和
这里先来引入纬向与经向的概念。
粗略来说，纬向就是纬线方向，经向就是经线方向。但是地球是曲面，而切面是平面，所以还不太准确。
因此，我们定义纬向为纬线圈所在平面与切面的交线的方向，经向同理。
经线圈平面过地轴，纬线圈平面垂直于地轴，所以两个平面垂直。
注意到两者与切面的交线也是垂直的。如何证明这一点？
容易求得，纬线圈平面的方程为
两平面交线的方向向量可以由法向量叉积得到。
求得纬线圈平面与切面的交线方向向量为
证毕。
将沿切面方向的速度
含有
由
回到
从而有：
考虑到
那么在速度沿切面的情况下，垂直地转偏移力的大小并不看速度本身的大小，而是看速度的纬向分量的大小。
极点处根本无法分解出纬向经向，但上式同样适用。因为极点处的切面法向量为
又
再来考虑方向。
极点已经不需要考虑，所以
显然
纬线圈平面法向量
既然
从而
当
当
那么方向也得出来了。
现在讨论另一种情形：速度与切面垂直。这时速度与法向量平行，故设
那么科里奥利力
即是说速度与切面垂直时，只有水平地转偏向力，没有垂直地转偏向力。
于是只需要讨论水平地转偏向力的大小与方向。
先看大小。
从而有：
考虑到
<del>迅速得出，，，</del>
再看方向。之前已经知道，
当
当
<del>同样迅速得出，，，</del>
这篇文章到这里就结束了罢。大概的确是罢？虽然说可能并没有人能看下去，但也已经写了这么多了。
习惯上会将速度正交分解为切面方向与切面法向来分析，那么分析这两种情况大概是够用的了。
就这样吧。
刚才意识到，如果以自西向东为
不过两者都非常容易，也就无所谓了。