算法与数据结构（七） 图论
图论 Graph Theory
图论并不是研究图画。而是研究由节点和边所构成的数学模型
图论抽象模型
万事开头难，虽然看上去很复杂，但是慢慢学习深入之后会体会到他的魅力
很多信息之间的联系都可以使用图来表示。数据可视化
节点 & 边
- 交通运输
- 社交网络
- 互联网
- 工作安排
- 脑区活动
- 程序状态执行
每个节点是城市，边是道路。点是航站楼，边是航线.
社交网络 - 人 & 好友关系 电影 & 电影相似程度
互联网 域名 域名跳转
工作安排 ：先后程度
自动机
图的分类：
- 无向图（Undirected Graph）
- 有向图（Directed Graph）
人和人认识就是边。
自动机转移有方向
有向图
以无向图为主。无向图是一种特殊的有向图
- 无权图
- 有权图
边:认识不认识。 好友度
边带值：相似程度 & 路长
图的连通性：
三图或者一图
可以看做是三张图。也可以视为一个。
图不是完全连通的。
简单图（simple Graph）：
平行边 & 自环边
考虑最小生成树。连通性。这两种边意义不大
简单图：不包含。
图的表示
对于边的表示采用什么样的数据结构：
邻接矩阵
n个节点 就是一个n行n列的矩阵，无向图对角线对称：1表示连通。0表示没通
有向图的矩阵表示：
有向图
邻接表：
对于每个顶点只表达与这个顶点相连接的信息
邻接表
每一行都是一个链表，存放了对这一行而言相连的节点。
有向图的邻接表
优点：存储空间小
邻接表适合表示稀疏图 (Sparse Graph)
邻接矩阵适合表示稠密图 (Dense Graph)
邻接表适合表示稀疏图，邻接矩阵适合表示稠密图。
多少：边多。
边的个数 与 能拥有的最大边的个数对比。
如下图就是一个稀疏图：
稀疏图
稠密图完全图
所有的点之间都有边。
每个电影和其他所有电影之间的相似度。不管相似大小都是连接的边。
编码：
// 稠密图 - 邻接矩阵
class DenseGraph{
private:
int n, m; // 节点数和边数
bool directed; // 是否为有向图
vector<vector<bool>> g; // 图的具体数据
public:
// 构造函数
DenseGraph( int n , bool directed ){
assert( n >= 0 );
this->n = n;
this->m = 0; // 初始化没有任何边
this->directed = directed;
// g初始化为n*n的布尔矩阵, 每一个g[i][j]均为false, 表示没有任和边
//g = vector<vector<bool>>(n, vector<bool>(n, false));
for (int i = 0; i < n; ++i) {
g.push_back(vector<bool>(n, false));
}
}
~DenseGraph(){ }
int V(){ return n;} // 返回节点个数
int E(){ return m;} // 返回边的个数
// 向图中添加一个边
void addEdge( int v , int w ){
assert( v >= 0 && v < n );
assert( w >= 0 && w < n );
if( hasEdge( v , w ) )
return;
g[v][w] = true;
if( !directed )
g[w][v] = true;
m ++;
}
// 验证图中是否有从v到w的边
bool hasEdge( int v , int w ){
assert( v >= 0 && v < n );
assert( w >= 0 && w < n );
return g[v][w];
}
};
addedge的时候已经去除了平行边的概念。因为如果有边之间return
O(1)来判断是否有边
稀疏图编码
// 稀疏图 - 邻接表
class SparseGraph{
private:
int n, m; // 节点数和边数
bool directed; // 是否为有向图
vector<vector<int>> g; // 图的具体数据
public:
// 构造函数
SparseGraph( int n , bool directed ){
assert( n >= 0 );
this->n = n;
this->m = 0; // 初始化没有任何边
this->directed = directed;
// g初始化为n个空的vector, 表示每一个g[i]都为空, 即没有任和边
//g = vector<vector<int>>(n, vector<int>());
for (int i = 0; i < n; ++i) {
g.push_back(vector<int>());
}
}
~SparseGraph(){ }
int V(){ return n;} // 返回节点个数
int E(){ return m;} // 返回边的个数
// 向图中添加一个边
void addEdge( int v, int w ){
assert( v >= 0 && v < n );
assert( w >= 0 && w < n );
g[v].push_back(w);
//处理自环边
if( v != w && !directed )
g[w].push_back(v);
m ++;
}
// 验证图中是否有从v到w的边
bool hasEdge( int v , int w ){
assert( v >= 0 && v < n );
assert( w >= 0 && w < n );
//使用邻接表在判断解决平行边复杂度高
for( int i = 0 ; i < g[v].size() ; i ++ )
if( g[v][i] == w )
return true;
return false;
}
};
邻接表取消平行边复杂度度过大。
邻接表的优势
遍历邻边 - 图算法中最常见的操作
遍历邻边，邻接表有优势
// 邻边迭代器, 传入一个图和一个顶点,
// 迭代在这个图中和这个顶点向连的所有顶点
class adjIterator{
private:
SparseGraph &G; // 图G的引用
int v;
int index;
public:
// 构造函数
adjIterator(SparseGraph &graph, int v): G(graph){
this->v = v;
this->index = 0;
}
~adjIterator(){}
// 返回图G中与顶点v相连接的第一个顶点
int begin(){
index = 0;
if( G.g[v].size() )
return G.g[v][index];
// 若没有顶点和v相连接, 则返回-1
return -1;
}
// 返回图G中与顶点v相连接的下一个顶点
int next(){
index ++;
if( index < G.g[v].size() )
return G.g[v][index];
// 若没有顶点和v相连接, 则返回-1
return -1;
}
// 查看是否已经迭代完了图G中与顶点v相连接的所有顶点
bool end(){
return index >= G.g[v].size();
}
};
// 邻边迭代器, 传入一个图和一个顶点,
// 迭代在这个图中和这个顶点向连的所有顶点
class adjIterator{
private:
DenseGraph &G; // 图G的引用
int v;
int index;
public:
// 构造函数
adjIterator(DenseGraph &graph, int v): G(graph){
assert( v >= 0 && v < G.n );
this->v = v;
this->index = -1; // 索引从-1开始, 因为每次遍历都需要调用一次next()
}
~adjIterator(){}
// 返回图G中与顶点v相连接的第一个顶点
int begin(){
// 索引从-1开始, 因为每次遍历都需要调用一次next()
index = -1;
return next();
}
// 返回图G中与顶点v相连接的下一个顶点
int next(){
// 从当前index开始向后搜索, 直到找到一个g[v][index]为true
for( index += 1 ; index < G.V() ; index ++ )
if( G.g[v][index] )
return index;
// 若没有顶点和v相连接, 则返回-1
return -1;
}
// 查看是否已经迭代完了图G中与顶点v相连接的所有顶点
bool end(){
return index >= G.V();
}
};
算法封装成类
图的文件表示
用文件来表示
第一行有多少节点，多少边。然后节点对：表示这两个节点间有边。
template <typename Graph>
class ReadGraph{
public:
// 从文件filename中读取图的信息, 存储进图graph中
ReadGraph(Graph &graph, const string &filename){
ifstream file(filename);
string line;
int V, E;
assert( file.is_open() );
// 第一行读取图中的节点个数和边的个数
assert( getline(file, line) );
stringstream ss(line);
ss>>V>>E;
assert( V == graph.V() );
// 读取每一条边的信息
for( int i = 0 ; i < E ; i ++ ){
assert( getline(file, line) );
stringstream ss(line);
int a,b;
ss>>a>>b;
assert( a >= 0 && a < V );
assert( b >= 0 && b < V );
graph.addEdge( a , b );
}
}
};
运行结果：
运行结果
图的遍历
- 深度优先遍历
- 广度优先遍历
图:深度优先遍历
一个点往下试。记录是否遍历过。
0-1-2-5-3-4-6
连通分量
遍历完成后看没遍历过的点
// 求无权图的联通分量
template <typename Graph>
class Component{
private:
Graph &G; // 图的引用
bool *visited; // 记录dfs的过程中节点是否被访问
int ccount; // 记录联通分量个数
int *id; // 每个节点所对应的联通分量标记
// 图的深度优先遍历(递归方式)
void dfs( int v ){
visited[v] = true;
id[v] = ccount;
typename Graph::adjIterator adj(G, v);
for( int i = adj.begin() ; !adj.end() ; i = adj.next() ){
if( !visited[i] )
dfs(i);
}
}
public:
// 构造函数, 求出无权图的联通分量
Component(Graph &graph): G(graph){
// 算法初始化
visited = new bool[G.V()];
id = new int[G.V()];
ccount = 0;
for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){
visited[i] = false;
id[i] = -1;
}
// 求图的联通分量
for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ )
if( !visited[i] ){
dfs(i);
ccount ++;
}
}
// 析构函数
~Component(){
delete[] visited;
delete[] id;
}
// 返回图的联通分量个数
int count(){
return ccount;
}
// 查询点v和点w是否联通
bool isConnected( int v , int w ){
assert( v >= 0 && v < G.V() );
assert( w >= 0 && w < G.V() );
return id[v] == id[w];
}
};
main.cpp
// 测试图的联通分量算法
int main() {
// TestG1.txt
string filename1 = "testG1.txt";
SparseGraph g1 = SparseGraph(13, false);
ReadGraph<SparseGraph> readGraph1(g1, filename1);
Component<SparseGraph> component1(g1);
cout<<"TestG1.txt, Component Count: "<<component1.count()<<endl;
cout<<endl;
// TestG2.txt
string filename2 = "testG2.txt";
SparseGraph g2 = SparseGraph(7, false);
ReadGraph<SparseGraph> readGraph2(g2, filename2);
Component<SparseGraph> component2(g2);
cout<<"TestG2.txt, Component Count: "<<component2.count()<<endl;
return 0;
}
运行结果：
运行结果
求出连通分量，可以求出两个结点是否相连
添加id来记录。
int *id; // 每个节点所对应的联通分量标记
并查集只能让我们知道两个结点是否相连。而路径需要图论来解决
获得两点间的一条路径。
两点间路径
深度优先获得一条路径。遍历的同时保存是从哪遍历过来的。
int * from; // 记录路径, from[i]表示查找的路径上i的上一个节点
// 路径查询
template <typename Graph>
class Path{
private:
Graph &G; // 图的引用
int s; // 起始点
bool* visited; // 记录dfs的过程中节点是否被访问
int * from; // 记录路径, from[i]表示查找的路径上i的上一个节点
// 图的深度优先遍历
void dfs( int v ){
visited[v] = true;
typename Graph::adjIterator adj(G, v);
for( int i = adj.begin() ; !adj.end() ; i = adj.next() ){
if( !visited[i] ){
from[i] = v;
dfs(i);
}
}
}
public:
// 构造函数, 寻路算法, 寻找图graph从s点到其他点的路径
Path(Graph &graph, int s):G(graph){
// 算法初始化
assert( s >= 0 && s < G.V() );
visited = new bool[G.V()];
from = new int[G.V()];
for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){
visited[i] = false;
from[i] = -1;
}
this->s = s;
// 寻路算法
dfs(s);
}
// 析构函数
~Path(){
delete [] visited;
delete [] from;
}
// 查询从s点到w点是否有路径
bool hasPath(int w){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
return visited[w];
}
// 查询从s点到w点的路径, 存放在vec中
void path(int w, vector<int> &vec){
assert( hasPath(w) );
stack<int> s;
// 通过from数组逆向查找到从s到w的路径, 存放到栈中
int p = w;
while( p != -1 ){
s.push(p);
p = from[p];
}
// 从栈中依次取出元素, 获得顺序的从s到w的路径
vec.clear();
while( !s.empty() ){
vec.push_back( s.top() );
s.pop();
}
}
// 打印出从s点到w点的路径
void showPath(int w){
assert( hasPath(w) );
vector<int> vec;
path( w , vec );
for( int i = 0 ; i < vec.size() ; i ++ ){
cout<<vec[i];
if( i == vec.size() - 1 )
cout<<endl;
else
cout<<" -> ";
}
}
};
main.cpp:
// 测试寻路算法
int main() {
string filename = "testG.txt";
SparseGraph g = SparseGraph(7, false);
ReadGraph<SparseGraph> readGraph(g, filename);
g.show();
cout<<endl;
Path<SparseGraph> path(g,0);
cout<<"Path from 0 to 6 : " << endl;
path.showPath(6);
return 0;
}
运行结果：
运行结果
复杂度：
- 稀疏图（邻接表）： O( V + E )
- 稠密图（邻接矩阵）：O( V^2 )
想获得一个节点的所有相邻节点的时候，我们要将图中所有节点扫一遍
深度优先遍历算法对有向图依然有效
查看环：有向图
图的广度优先遍历
使用队列。
队列
队列为空。距离0节点的距离排序
层序遍历。<=
记录距离。from。
广度优先遍历：求出了无权图的最短路径。
代码实现：
// 寻找无权图的最短路径
template <typename Graph>
class ShortestPath{
private:
Graph &G; // 图的引用
int s; // 起始点
bool *visited; // 记录dfs的过程中节点是否被访问
int *from; // 记录路径, from[i]表示查找的路径上i的上一个节点
int *ord; // 记录路径中节点的次序。ord[i]表示i节点在路径中的次序。
public:
// 构造函数, 寻找无权图graph从s点到其他点的最短路径
ShortestPath(Graph &graph, int s):G(graph){
// 算法初始化
assert( s >= 0 && s < graph.V() );
visited = new bool[graph.V()];
from = new int[graph.V()];
ord = new int[graph.V()];
for( int i = 0 ; i < graph.V() ; i ++ ){
visited[i] = false;
from[i] = -1;
ord[i] = -1;
}
this->s = s;
// 无向图最短路径算法, 从s开始广度优先遍历整张图
queue<int> q;
q.push( s );
visited[s] = true;
ord[s] = 0;
while( !q.empty() ){
int v = q.front();
q.pop();
typename Graph::adjIterator adj(G, v);
for( int i = adj.begin() ; !adj.end() ; i = adj.next() )
if( !visited[i] ){
q.push(i);
visited[i] = true;
from[i] = v;
ord[i] = ord[v] + 1;
}
}
}
// 析构函数
~ShortestPath(){
delete [] visited;
delete [] from;
delete [] ord;
}
// 查询从s点到w点是否有路径
bool hasPath(int w){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
return visited[w];
}
// 查询从s点到w点的路径, 存放在vec中
void path(int w, vector<int> &vec){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
stack<int> s;
// 通过from数组逆向查找到从s到w的路径, 存放到栈中
int p = w;
while( p != -1 ){
s.push(p);
p = from[p];
}
// 从栈中依次取出元素, 获得顺序的从s到w的路径
vec.clear();
while( !s.empty() ){
vec.push_back( s.top() );
s.pop();
}
}
// 打印出从s点到w点的路径
void showPath(int w){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
vector<int> vec;
path(w, vec);
for( int i = 0 ; i < vec.size() ; i ++ ){
cout<<vec[i];
if( i == vec.size()-1 )
cout<<endl;
else
cout<<" -> ";
}
}
// 查看从s点到w点的最短路径长度
int length(int w){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
return ord[w];
}
};
main.cpp:
// 测试无权图最短路径算法
int main() {
string filename = "testG.txt";
SparseGraph g = SparseGraph(7, false);
ReadGraph<SparseGraph> readGraph(g, filename);
g.show();
cout<<endl;
// 比较使用深度优先遍历和广度优先遍历获得路径的不同
// 广度优先遍历获得的是无权图的最短路径
Path<SparseGraph> dfs(g,0);
cout<<"DFS : ";
dfs.showPath(6);
ShortestPath<SparseGraph> bfs(g,0);
cout<<"BFS : ";
bfs.showPath(6);
return 0;
}
运行结果：
广度优先一定可以找到最短无权路径
广度优先一定可以找到最短无权路径，深度也有可能找到。
图的存储，边加入的顺序。多条最短路径。跟遍历顺序有关。
更多算法：
flood fill
抠图
图遍历
图的最短路径。
扫雷走迷宫本质是一颗树。能不能走出去就是两点能否连通。最短路径。
迷宫生成 是一个生成树的过程
选定入口与出口：选择一部分红色
迷宫生成