线性空间与线性变换之“线性映射”

一. 映射的相关概念

1. 映射中的像与原像
   
2. 映射的分类

对于一个映射 f ：S → T

①满射

把映射的值域（全体像的集合）定义为f（S） = {y∈T | 存在x∈S，使得 y = f（x）}
如果f（S） = T，那么就说这个映射f为满射

也就是如上图所示，当映射过来的像充满了整个T集合，就说明是满射

②单射

若由f（a） = f（b）必能推导出“a = b”，则称f是单射。

也就是S中两个不同的原像，在T中会有两个不同的像进行对应。

③双射

若f既是满射，又是单射，则称f是双射。

【双射的充要条件定理】

二. 线性映射

1. 线性映射的定义

把从V到U 的线性映射全体记为Hom(V,U)

[Tip]: 在数学定义中引入记号的目的之一就是为了简化描述，如果要说明某一个映射是线性映射，只需要说明：
存在映射f，f∈Hom(V,U)

特别地，当U= V的时候，我们把这个映射f称作是V上的线性变换，也就是说讲到“映射”，一定要是两个不同集合上的元素对应关系。

2. 线性映射举例

（1）列向量空间的映射

对于每一个定义的映射，通过分别判断齐性和可加性是否成立来判断某一映射是否为线性映射。

（2）多项式空间的映射

如果要严格地用数学进行证明，同样是利用齐性和可加性的定义；但是这里可以换个角度思考——

映射f的本质操作就是关于多项式进行求导运算，求导操作本身就是满足齐次性和可加性的。

（3）矩阵空间的映射

该映射同样可使用例1中的方法对齐性和可加性进行验证，只不过左乘变为右乘。

核心还是因为——矩阵的乘法（不论左乘还是右乘，向量可以看做是列矩阵）本身就是满足齐次性和可加性的。

“上述例子在后续讨论运算时经常使用，希望读者熟悉”

3. 线性映射的相关结论

（1）结论：“零映射”和“恒等映射”肯定都是线性映射

（2）从常值映射到零映射

假设V是数域F上的线性空间，η0∈V是给定的一个向量。

对于任意一个常值映射，为了能够满足线性映射的齐性，只有当η0是θ（零向量）才行。

（3）从平移映射到恒等映射

假设V是数域F上的线性空间，η0∈V是给定的一个向量。

4. 线性映射的性质

接下来对于线性映射的相关性质进行证明时，会大量使用齐性和可加性的相关结论。

假设f：V→U是线性映射。

（1）零向量映射不变性

（2）线性运算的有限拓展

（3）向量组的线性相关性的映射不变性

综合利用前两条结论+线性相关的定义表达进行证明。

该结论说明了 “线性映射可以把一个线性相关的向量组映射成另一个线性相关的向量组”
但是线性映射并不一定可以把线性无关的向量组映射成另一个线性无关的向量组。
如：零变换。

（4）映射的值域f（V）也是一个子空间，且是由V中生成元的各个像生成的子空间。

思路（过程比较简略）：要证明f（V） = L(f(α1)，f(α2)，…，f(αs))，两个集合相等↔两个集合相互包含。

上图中只对左包含性的过程进行了书写，右包含性就是找到任意一个元素η∈F(V)，那么η就可以写成f（Σkiαi）的形式，根据齐性和可加性展开，就能得到结论。

（5）线性映射的核子空间

根据定义式，所有的像为零向量的原像集合对应为映射的核子空间。

要证明该映射f^-1（θ）是一个子空间，则需要证明该集合对于数乘和加法运算是封闭的。
上图中对数乘封闭性进行了证明，加法封闭性可以同样进行证明。

【值域和核子空间是刻画线性映射的两个重要概念】

【例】求线性映射f的值域和核子空间的基和维数 - 1

对于一个抽象的线性空间（对于本题中要求解的值域和核子空间），要求解其相应的基和维数，首先要能把这个空间的具体表示方式表达出来。

先看一下这个映射f的本质是关于多项式求导数，可以考虑任意一个向量，考察其进行求导映射后的形态：
p(x) = a + bx + cx²；进行求导运算之后，得到的就是f(p(x)) = b + 2cx

因此得到，线性映射f变换之后的线性空间的一般表达式如下所示：

对于给出了上述数学约束的一个空间，很容易可以得到该空间的基就是1,x；自然得到该空间的维数为2.

再来看线性映射的核子空间的一般形式，按照核子空间的定义，在空间的内的向量应该满足——该向量的像在值域空间中为θ零向量。
对于任意一个V中的多项式p(x) = a + bx + cx²，其经过映射（求导运算）之后得到的向量一般形式为f(p(x)) = b + 2cx，若该结果应为零向量，则有b = c = 0，那么最后可以得到核子空间的一般形式。

核子空间就是数域上的一个数，那么基自然为1，维度自然也为1.

【例】求线性映射f的值域和核子空间的基和维数 - 2

对于一个具体的我们熟悉的向量或矩阵线性空间来说，可以通过生成元生成子空间的思想，将比较特殊的生成子空间的相关问题转换成我们熟悉的列向量空间的有关问题。

先来看映射f的值域空间，根据线性映射的相关性质，可以把映射的自变量域的生成元先找出来，分别求出映射后的像，从而确定映射得到的线性空间的生成元，对于这一组生成元（往往都是一组列向量）进行相关求解。

再来看映射f的核子空间，把核子空间的定义进行代入，从而求出核子空间的一般表达式（如下图所示），

那么核子空间实际上就是以矩阵A为稀疏矩阵的齐次线性方程组的解空间（矩阵A的左零空间）

对于左零空间，我们很容易得到 dim(f^-1(θ)) = n - r(A)

再回顾一下上面的求解过程，可以得到：

某一映射的值域空间维数 + 该映射的核子空间的维数 = 该映射的定义域空间的维数

其中线性映射的值域空间常记为R(A);线性映射的核子空间记为K(A)。

三. 线性变换的运算

1. 线性变换的运算的定义

（1）线性变换的数乘运算

线性变换的数乘运算之后仍然得到的是一个线性变换

按照线性映射的定义——也就是经过数乘运算之后，依然能够保证向量的数乘封闭与加法封闭。

（2）线性变换的加法运算

两个线性变换的加法依然是一个线性变换

（3）线性变换的乘法

所谓乘法运算，也就是我们熟悉的“复合”运算

p.s.注意乘法运算，和矩阵乘法运算一样，一般情况下是不满足交换律的。

2. 线性变换运算的性质

因为对于线性变换的数乘和加法运算是构成线性空间的，也就是说加法运算和数乘运算是满足线性空间中的所有定理；因此这里不再多阐述，本文主要从线性变换的乘法具有的性质进行描述。

假设f,g,h∈Hom(V,V)

（1）乘法的可结合性

要证明两个线性变换f1,f2是相等的，即要证明对于同一个向量经过两个映射之后可以得到同样的结果。
即：任意一个x∈V，f1(x) = f2(x)

依次对等号左右两边的表达式进行展开，按照线性映射的乘法的定义，最终可以将左右两边的线性映射的表达式写成同一个式子。

（2）线性映射的左分配律和右分配律

因为线性映射的乘法一般是不满足交换律的（这一点可以参考矩阵的乘法），因此要把左分配律和右分配律单独罗列出进行说明。

四. 线性映射（变换）的矩阵

找到【线性映射的矩阵】这个任务，归根结底就是要找到线性变换的一个表达式，或者是可以代表线性映射的作用的矩阵。

借助老师的板书来说明一下一个线性映射的矩阵是怎样确定的。

p.s.因为板书有点凌乱，读者可以参照我标记的顺序框和文字进行理解。


首先，对于一个映射f来说，其原像在V线性空间中，像在U线性空间中，两个空间都能找到相应的基，空间中的元素都可以用相应的基线性表示。

要想确定V中任意一个元素η经过映射后的像是怎样的，按照2号框中的描述，因为η可以写作V中的基的线性组合，而根据线性映射的性质，可知η的像也可以写作另一组基f(α1)，f(α2)…等的线性表示。
因此，问题就转化成确定原像空间的基中的每个向量对应的像是什么。

又因为前面说过空间U也是有自己的一组基，所以可以把f(α1)，f(α2)…f(αs)这组向量写成关于基β1，β2，…，βs的坐标的形式。
将f(α1)，f(α2)…f(αs)的各个坐标列向量写成一列就构成了最终的变换矩阵。

1. 线性映射（变换）的矩阵的定义

定义的思路就是我们上文讨论过的思路，应该还比较好理解。

这里要注意定义的措辞问题——

• 对于线性映射来说，原像和像不再同一个空间，所以选定的是一对基偶
• 对于线性变换来说，原像和像在同一个空间，所以选定的就是一个基

2. 例题求解

（1）线性变换的矩阵的求解

首先按照定义的模式打好求解的框架——找到基的像在该基下的坐标表示

拿f(E12)进行举例，E12矩阵是[[0,1],[0,0]]，把E12代入X中就是a = c = d =0,b = 1；因此求解出来的矩阵应该是[[-3,1],[-1,0]]。
[[-3,1],[-1,0]]这个矩阵在E11,E12,E21,E22的基的表示下，坐标向量就是[-3,1,-1,0]^T，也就是对应的矩阵的第二列。

其他的各列也可以用相同方法求解出来。

3. 定理1——根据一个线性变换矩阵确定一个向量的映射

该定理主要解决的问题是——已经确定了线性映射（变换）代表的矩阵，怎么通过这个矩阵确定线性映射（变换）的像呢？

（1）定理描述

（2）定理证明

针对上述的证明，读者可以根据下方的知识点自觉查漏补缺

• 线性变换（映射）的矩阵
• 向量在一组基下的坐标表示
• 线性映射的定义及性质

4. 定理2——不同基偶对之下的线性变换矩阵的过渡

（1）定理描述

（2）定理证明

同样地，关于线性映射（变换）的矩阵的相关题目，先利用定义把目标框架打下来。

接下来就要利用α组向量和α’组向量的关系以及β组向量和β’组向量的关系把矩阵B确定下来。

对于αi’ = αi ·P这个关系，我们来考察一下，αi’的像应该如何表达：
把P向量写成列分块矩阵的形式就是P = (p1,p2,…ps)，其中pi就是向量αi’在向量组(α1，α2，…，αs)这一组基下的坐标表示

根据定理1的结论，在已知基偶对下变换矩阵为A，我们可以得到αi’的像在(β1,β2,…,βn)的基下的表示为

那么新的原像空间的基(α1’,α2’，α3’，…，αs’)这个向量组在经过变换f变换后的像可以表示为：

p.s. 注意这里的表示还是关于β向量组的，并非β’向量组，因此还需要继续求解。

将β组向量和β’组向量的关系式代入上述等式，就可以得到最终的变换矩阵为Q^-1AP

（3）定理延伸

定理2是关于线性映射（取的是一对基偶）的结论，我们可以很简单地把结论小小改动之后套用在线性变换（取的是一组基）上。

【敲黑板！！】对于B = P^-1AP这个式子，学过线性代数的同学想必不会陌生，这就是两个矩阵相似的定义。（注明，这里暗含了P矩阵是可逆矩阵的条件，因为两组基都是线性无关的向量组，所以他们之间的变换矩阵P一定是可逆的）

这说明，同一个线性变换在不同的基下的矩阵表示是相似的。之后我们如果要研究线性变换在不同基下的矩阵，实质上只要研究两个矩阵之间的相似性即可。

【例】求解线性变换在任取的某一组基下的矩阵表示

经过上面讲述过的线性变换的定义以及相关定理，下面用不同的方法简述求解思路。

法一：按照线性变换的矩阵的定义进行求解

打好框架，求解这组基的像在该组基下的坐标表示。

具体思路就是针对f(p1(x))，关于x进行求导之后会得到一个新的多项式，把这个多项式在(p1(x),p2(x),p3(x))下的坐标求解出来，该坐标列向量就是求解矩阵的第一列。

法二：利用线性变换的不同基下的变换定理进行求解

关于空间F3[x]进行求导运算，在我们比较熟悉的基[1,x,x²]下会有一个变换矩阵A，给定的基(p1(x),p2(x),p3(x))在基[1,x,x²]下也有一个坐标表示矩阵P，则按照定理可以解得P^-1AP即为所求。

5. 定理3——线性变换的运算对应的矩阵表示
   

• 上述结论的对应性很工整，所以相关结论也很好记忆
• PPT上展示的是关于第三条的证明，笔者这里不再解释思路了，读者可以自行阅读。
• 这一节讨论了这么久，实际上就是把我们在线性代数中学到的【用变换的观点看矩阵】这样的思想给代数化和公理化了。