「线性基」学习笔记and乱口胡总结

还以为是什么非常高大上的东西花了1h不到就学好了

线性基

线性基可以在\(O(nlogx)\)的时间内计算出\(n\)个数的最大异或和（不需要相邻）。
上述中\(x\)表示的最大的数。

如何实现

定义\(p[i]\)表示在二进制下从最高位开始第一个出现\(1\)的数。
当前我们将一个数插入线性基中。
如果\(x\)的最高位的\(1\)还没有被插入过，那么就在这一位上插入\(x\)。
如果当前这一位被插入过，那么就异或上这一位上的数。
查询操作：从最高位上开始贪心。
如果异或这一位上的数可以让答案更大，那么就异或，否则就异或。

贪心验证

因为我们从高位往低位贪心，所以不需要考虑低位上的数会让高位上的数变小的情况。
介于我们在插入的时候都是无法匹配的时候，异或上这一位上的数，那么就保证了我们的这个数能够达到自己能用的最大贡献。

代码

【洛谷模板区】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int BIT = 63;
const int N = 52;
typedef long long ll;
ll a[N], p[BIT + 2];
int n; 
void ins(ll x) {
    for (int i = BIT; ~i; i --) {
        if ((x >> i) == 0) continue; 
        if (!p[i]) { p[i] = x; break; }
        x ^= p[i];
    }
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) ins(a[i]);
    for (int i = 0; i <= BIT; i ++) cout << i << " " << p[i] << endl; cout << endl;
    ll ans = 0;
    for (int i = BIT; ~i; i --) 
        if ((ans ^ p[i]) > ans) ans ^= p[i];
    cout << ans << endl;
    return 0;
}