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三次样条插值的原理（一）

news 来源：原创 2024/5/5 19:24:42

在做三次样条插值的时候，我们需要首先注意几点：

第一，样条插值主要有两种，一种并不算插值，属于拟合，近似，不过每个给定的离散数据点；另一种是插值，过每个离散数据点。

第二、样条插值函数是在每个段上定义的，如果有N段，就是N个函数。

如果有N+1个数据点，就会一共有N个间隔。也就有分了N段的曲线。我们假设每段曲线为S(x)，假设这一堆数据点为：

x_0 ,x_1, x_2,...,x_N 是按照从小到大的顺序排列的，对应每个点的值y_0 ,y_1, y_2,...,y_N

假设我们取其中的一段进行分析，比如取 x_4 和 x_5 ，在这个间隔的曲线就是 S_4(x)

首先我们需要保证的是，S_4(x_4)=S_4(x_5) ，当然也有 S_5(x_5)=S_5(x_6)

我们设该三次多项式为：S_4(x) = a_4+b_4(x-x_4)+c_4(x-x_4)^2+d_4(x-x_4)^3

除了上面要保证的条件，还有

{S_4}(x_4)=y_4 对应到每个点的插值应该和真实值一样。

{S_4}'(x_5)={S_5}'(x_5) 表示的是其导数也应该是连续的。

{S_4}''(x_5)={S_5}''(x_5) 表示的是其二阶导数也应该是连续的。

为了方便描述，我们做一些替代：h_i 表示第 i 段间隔。{S_i}''(xi)=m_i 表示第 i 段的二次函数在边缘的二阶导数。

把这些关系联立，然后带入到S_i(x) = a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)^2+d_i(x-x_i)^3中，就能解得如下公式：

在首尾两端令 S''=0 

 

解该方程就能得到每段的插值。

参考文献：三次B样条插值和误差分析

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

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