当前位置：首页 > news >正文

傅里叶变换究竟是什么玩意以及这些公式究竟是怎么来的第六章非周期信号的傅里叶变换

news 来源：原创 2024/5/9 6:14:10

之前，我们已经了解到了周期信号可以分解为许多正弦信号（或者说，复指数信号）。只要给一个具体的x(t)周期信号在一个周期上的时域表示，我们就能求出来它在频域上的表示。

但是问题又来了：如果信号是非周期的呢？

假设我们现在的信号是这个样子：

像这种在时域上是非周期的信号，我们就做如此假设：假设其周期是无穷大，即从负无穷到正无穷。

借用上一章的式子，我们把一个周期积分的区间改为从-T到T：

$a_{k}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt$

然后设周期变为无穷大，即：

$a_{k}=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt$

但是想必大家已经看出来了一个问题：T是无穷大的，也就是说除非x(t)本身也是指数级或者变化率更快的函数，否则这样积分以后 $a_{k}$ 永远是0，这就很让人不爽了，如果都是0，难道说非周期信号在频域上各个频率都是0不成？

不是这样的，因为我们知道，非周期信号只是所谓的周期无穷大了而已，我们做一个小的变换：把等式两边同时乘T：

$Ta_{k}=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt$

所以现在有意思的要来了，我们知道在周期信号中，T代表一个最小的周期， $\omega _{0}$ 则是对应最小周期的频率，也就是 $\frac{2\pi}{T}$ ，而当T是无穷大的时候， $\omega _{0}$ 不就是无穷小了嘛？所以我们需要重新调整一下：之前分解的信号的所有频率可以表示为 $k\omega _{0}$ 来表示，这里的k是整数。而当 $\omega _{0}$ 无穷小的时候，我们就可以理解为，这个频率可以取到任何值！再更具体一点，假设周期信号中 $\omega _{0}=1$ ，则这个信号在频域中可以求其频率在1，2，3，4……上面的幅值，但是现在， $\omega _{0}$ 无穷小了，也就是说，频率仍然可以取 $k\omega _{0}$ ，但是这个 $k\omega _{0}$ 可以取遍所有实数：可以是1.23456，可以是0.000000001，也可以是12345，那么，也就是说， $k\omega _{0}$ 可以取遍实数空间，再进一步说， $k\omega _{0}$ 不再是离散的值了，它是连续的值！

假设我们想取这个非周期信号在频率为11.111处的幅值，我们只需要把 $k\omega _{0}=11.111$ 代入 $\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt$ 就好了！而且这个值求出来是一定存在的，谁让非周期信号的 $\omega _{0}$ 是无穷小呢~

但是我们还是要思考一点，既然右边的式子里 $k\omega _{0}$ 可以取任何实数值，不就相当于这个值是连续的吗？那我们为什么不用一个连续变量代替 $k\omega _{0}$ 呢？所以，我们让 $\omega = k\omega _{0}$ , 左边也换一下，既然是求的是频率在任意 $\omega$ 处的幅值，左边直接写成 $X(\omega)$ 不就好了吗？