数学随记—公式定理

初等函数

幂函数

以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数 y=x^a

指数函数

底数为常数，指数为自变量，幂为因变量的函数称为指数函数 y=a^x

对数函数

对数函数以幂为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数

y=loga^N

对数函数为指数函数的反函数。

loga^y=x a^x=y

三角函数

若有一个任意角度三角形，半径为r

则有

• sinA = y/r
• cosA = x/r
• tanA = y/x
• cotA = x/y
• secA = r/x
• cscA = r/y

反三角函数

指三角函数的反函数。由于基本三角函数具有周期性，所以反三角函数是多值函数。这种多值的反三角函数包括：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数，分别记为Arcsin x,Arccos x,Arctan x,Arccot x,Arcsec x,Arccsc x。但是，在实函数中一般只研究单值函数，只把定义在包含锐角的单调区间上的基本三角函数的反函数，称为反三角函数，这是亦称反圆函数

阶乘

0！ = 1

希尔伯特旅馆

n!≈(n/e)^n

向量

• 数量（标量）

只有大小没有方向的量

• 向量（矢量）

具有大小和方向的量

• 向量的模

向量的大小或向量的长度。向量a的模->|a|

向量的运算

有a=(x1,y1),b=(x2,y2)

• 加法

a+b=(x1+x2,y1+y2)

满足 交换律，结合律

• 减法

a-b=(x1-x2,y1-y2)

• 数乘

(x+y)* a =x * a+y * a

数乘满足 结合律，分配率

• 点乘

几何意义：一个向量与这个向量在在另一个向量上的投影的长度的乘积。

a·b =|a|·|b|·cos(a,b)

不满足 交换律，结合律，分配率

若a=(x1,y1) b=(x2,y2)

坐标运算：

a · b = x1x2+y1y2

• 叉乘

定义：

若a、b不共线

c=a∧b =|a||b|sin(a,b)

a * b=-b * a

坐标运算：

若a=(ax,ay,az) b=(bx,by,bz)

a ∧ b = (aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx)

组合与排列

m>n

• 排列 A(m,n)= m!/(m-n)!

• 组合 C(m,n)=A(m,n)/n!

牛顿二项式

两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

记作

极限

极限，设|Xn|为一数列，如果∃常数a,对于任意给定的正数ε,总∃正整数N，使得n>N时，不等式|Xn-a|<ε都成立，则a称为数列的极限，记作 limf(x)=a (n->∞)

二个重要极限

• lim (1+1/n)^n = e n->∞
• lim sin(x)/x = 1 x->0

四则运算

lima(x)=A (n->∞),limb(x)=B (n->∞)

• a(x)+b(x)=c(x) limc(x)=A+B (n->∞)
• a(x)-b(x)=c(x) limc(x)=A-B (n->∞)
• a(x)*b(x)=c(x) limc(x)=A*B (n->∞)
• a(x)/b(x)=c(x) b(x)!=0, limc(x)=A/B (n->∞)

夹逼定理

有数列 an,bn,cn liman=L (n->∞) limcn=L (n->∞) an<=bn<=cn 则 limbn=L (n->∞)

导数

当函数y=f(x)的自变量x在点x0上产生一个增量Δx时，函数输出的值的增量Δy与自变量Δx的比值在Δx趋近于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x)

f(x)=f'(x) 理解 xt<->vt 位移时间图<->速度时间图

f'(x)=lim f(x)-f(x0)/(x-x0) (x->x0)

导数的运算法则

x,y是2个函数

• (x+y)'=x'+y'
• (x-y)'=x'-y'
• (xy)'=x'y+xy'
• (x/y)'=(x'y-xy')/y^2

初等函数导数公式

• 幂函数的导数 (x^n)'= nx^(n-1)

• 指数函数 (e^x)'= e^x

• 对数函数 (lnx)'= 1/x

• 三角函数
  (sin x)' = cos(x)

  (cos x)' = -sin(x)

  (tan x)' = 1/cos^2(x)

• 反三角函数

  (arcsinx)' = 1/(1-x^2)^1/2

  (arccosx)' = -1/(1-x^2)^1/2

  (arctanx)' = 1/(1+x^2)

微积分

不定积分

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C,f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数

定积分

对于一个给定的实函数f(x)，在区间[a，b]上的定积分。

微分

函数的微分 等于 函数的导数乘以自身的微分

f'(x)=df/dx => df=f'(x)dx

例:

dx^2=2xdx

分部积分

(xy)'=x'y+xy'

∫(xy)'dx= ∫x'ydx+∫xy'dx

xy = ∫ydx + ∫xdy

级数

级数是指将数列的项依次用加号链接起来的函数。

中值定理

如果f(x)在[a,b]上连续且可导，且f(a)=f(b) ∃ c∈(a,b) 则 f'(c)=0

拉格朗日定理

如果f(x)在[a,b]上连续且可导， ∃ c∈(a,b) 则f'(c)=f(a)-f(b)/a-b

柯西中值定理

推广： 有f(x),g(x) x∈[a,b]

f'(c)/g'(c) = f(b)-f(a)/g(b)-g(a)

洛必达法则 L‘Hospital

若f(x)->0 g(x)->0

lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x) x->a

泰勒展开 Taylar series

通过x点 临近点 x0的各种信息估算出x点具体值的过程。

f(x)≈f(x0)+f'(x0)x+1/2f''(x0)x^2+...

例如：

e^x= 1+1+1/2!+1/3!+1/4!+...+..

香克斯变换 Shanks Transform

若有 s= 1 -1/2+1/3-1/4+1/5+... limSn = L

则有

S(Sn)=Sn^2-S(n-1)*S(n+1)/2Sn-S(n-1) -S(n+1)

取Sn 7项，每3项做一次 香克斯变换，对香克斯变换再做香克斯变换，最终得到误差值相对较小。

偏导数

一个多变量的函数，关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。

若有z=f(x,y)在点(x0,y0)处有定义，且有关于dx或dy的极限存在则表示为：

• ∂f/∂x (∂f/∂y) |x=x0,y=y0

• ∂z/∂x (∂f/∂y) |x=x0,y=y0

• Zx |x=x0,y=y0

• fx(x0,y0)

多元函数偏导交换

∂(∂f/∂x)/∂y=∂(∂f/∂y)/∂x

∂^2f/∂y*∂x = ∂^2f/∂x*∂y

向量场论

场论

物理学中把某个物理量在空间的一个区域内的分布称为场

• 向量场

由一个向量对应另一个向量的函数。

例如：电磁场

• 标量场

用一个代数量来来描绘 something在定义空间内的分布状态。(something:密度，压力等)

例如：温度场，电势场，密度场

向量的偏导运算符

• 符号

nabla ▽

• 公式

▽h=(∂h/∂x,∂h/∂y)

梯度

• 定义

一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向变化最快，变化率最大。

• 标量场中的梯度

标量场 ： h(x,y,z)

梯度： ▽h≡(∂h/∂x,∂h/∂y,∂h/∂z)

梯度描述了一个标量场向

散度

矢量场 v=(Vx,Vy,Vz)

散度 ▽·v≡ ∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂z

描述一个矢量场在某一个的发散数

旋度

矢量场 v=(Vx,Vy,Vz)

散度 ▽∧v≡ (∂Vz/∂y-∂Vy/∂z,∂Vx/∂z-∂Vz/∂x,∂Vy/∂x-∂Vx/∂y)

描述一个矢量场旋转的属性，每点都描述了角速度

一些结论

• 任意标量场，梯度的旋度为0 ▽∧▽ρ=0

• 任意矢量场，旋度的散度为0

▽(▽∧v） =0

• 任意2个矢量场的叉剩的旋度

▽∧(u∧v） =(v * ▽) * u-(u * ▽) * v-v (▽ * u) +u (▽ * v)

爱因斯坦指标求和

变分法

泛函

把具备某种性质的函数记作D，对于集合D中的任意函数f(x),变量Q都有唯一确定的值与它对应，那么变量Q叫做依赖于函数f(x)的泛函。