时间空间复杂度——详解
时间复杂度： 一个算法所花费的时间与其中语句执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
大O的渐进表示法：
- 用常数1取代运行时间中所有加法常数。
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。的=得到的结果就是打O阶。
注意：大O阶渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
在实际中算法的时间复杂度包含最好、最差、平均情况，而一般关注关注的是算法的最坏运行情况
例子1：
//计算Func1时间复杂度
void Func1(int N)
{
int count = 0；
for(int k = 0;k<2*N;++K)//循环执行了2*N次
{
++count;
}
int M=10;
while(M--)//执行M=10次。
{
++count;
}
printf("%d\n",count);
}
分析可知：基本操作执行了2N+10次，由大O阶渐进表示法为O(N)。
例子2：
//计算Bubblesort的时间复杂度
void Bubblesort(int* a,int n)
{
assert(a);
for(size_t end=n;end>0;--end)
{
int exchange=0;
for(size_t i=1;i<end;++i)
{
if(a[i-1]>a[i])
{
swap(&a[i-1],&a[i]);
exchange = 1;
}
}
if(exchange == 0)
{
break;
}
}
}
分析可知：由冒泡排序可知最好执行状态就是N次，最坏执行了N*(N+1)/2,由大O阶渐进表示法时间复杂度为O(N^2)。
例子3：
//计算BinarySearch的时间复杂度
int BinarySearch(int* a,int n,int x)
{
assert(a);
int begin =0;
int end =n-1;
while(begin<end)
{
int mid=begin+((end-begin)/2);
if(a[mid]<x)
begin=mid+1;
else if(a[mid]>x)
end=mid;
else
return mid;
}
return -1;
}
分析可知：可知该算法是二分查找算法可以知道最好状态下执行1次就成功了，最坏情况下也就O(logN)，所以复杂度为O(logN)。
空间复杂度： 空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，所以空间复杂度算的就是变量的个数。用大O渐进表示法表示。
例子1：
//计算BubbleSort的空间复杂度
void BubbleSort(int* a,int n)
{
assert(a);
for(size_t end=n;end>0;--end)
{
int exchange=0;
for(size_t i=1;i<end;++i)
{
if(a[i-1]>a[i])
{
swap(&a[i-1],&[i]);
exchang=1;
}
}
if(exchange ==0)
break;
}
}
分析可知：可知冒泡排序所用的常数个额外空间，所以其看空间复杂度为O(1)。
例子2：
// 计算Fibonacci的空间复杂度？
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = new long long[ n+1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i ] = fibArray[ i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray ;
}
分析可知：动态开辟了N个空间，所以空间复杂度为O(N)。
例子3：
// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}
分析可知：递归调用N次，开辟了N个栈帧，每一个栈帧使用了常数个空间。所以空间复杂度为O(N)。